SUR QUELQUES mÉGALITÉS 



СОКСЕКЛАКТ 



LES INTÉGRALES ORDINAIRES ET LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES. 

 Par V. Bouniakowsky. 



La considération des moyennes arithmétiques des fonctions d'une ou de plusieurs va- 

 riables qui varient par degrés insensibles conduit au Calcul Intégral de la manière la 

 plus naturelle, la plus élégante et la plus satisfaisante sous le rapport de la clarté. Dans 

 un grand nombre d'applications de l'Analyse transcendante, ce point de vue facilite 

 considérablement la conception des relations qui existent entre les diverses données de la 

 question, comme on en peut citer beaucoup d'exemples, entr'autres dans la Théorie des 

 Probabilités*). 



Avant d'entrer en matière je rappellerai qu'en désignant par f{x) une fonction con- 

 tinue pour toutes les valeurs de la variable x depuis x = x^^ jusqu'à x= Ä', on aura 



X f^f{x)dx 



Ж/Н = ^^-, (I) 



ï ° 

 la notation Mf{x) représentant la moyenne arithmétique de la fonction f{x) relativement à 



toutes les valeurs de la variable continue x comprises entre les limites л; = inclusive- 

 ment, et x = X exclusivement. La relation (1) conduit ensuite, de la manière la plus 

 simple, à toutes les propriétés générales des intégrales tant définies qu'indéfinies. 



1. Au lieu de considérer les moyennes arithmétiques comme celles dont il a été 

 question plus haut, et que nous appellerons pour abréger continues, on pourrait traiter 

 directement d'autres moyennes, comme, par exemple, les moyennes géométriques, harmo- 

 niques etc.; on arriverait de cette façon à des relations qui subsistent entre celles-ci et 

 la moyenne arithmétique. Ainsi, on pourra exprimer, au moyen des intégrales définies, 

 une moyenne quelconque d'une fonction donnée qui varie d'une manière continue. Si, 



*) Voyez à ce sujet mon Traité du Calcul des Probabilités. (Основанія Математической Teopiii Вѣроятно- 

 стей, 184G г.) 



