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V. В ОиМ АКО WSK Y, 



par exemple, il s'agissait de déterminer la moyenne géométrique de la fonction continue 

 fix), la variable x étant comprise entre les limites x — x^^ et x = X, on pourrait s'y 

 prendre de la manière suivante, extrêmement simple. En observant que 



log . Va^a^ß^ . 



_ log Ol ■+- log a, -H log Oj Ч- ... -H log a„ 



on conclut que le logarithme de la moyenne géométrique est égale à la moyenne arithmétique des 

 logarithmes. 



Si l'on admet actuellement que les nombres a,, a^, a^. . . .a„ représentent les valeurs 

 successives de la fonction f(x), x variant d'une manière continue depuis x^ jusqu'à X, et 

 que toutes ces valeurs soient positives, la proposition qui vient d'être énoncée pourra se 

 traduire par la formule 



(Ä) \og.Gf{x) = iM\usf{x), 



Xq Xq 



X 



la notation Gf{x) désignant la moyenne géométrique de f{x) pour toutes les valeurs de x 

 comprises entre et X. Par suite, en vertu de la formule (1), on a 



X J loLT f(x) dx 



log.GAx)= "° , 



d'où l'on tire définitivement 



/ \og f{x)dx 



(S) G{{x) = e . , 



Observons actuellement que comme la moyenne arithmétique surpasse la moyenne géométrique, 

 il s'en suivra que 



^ J ^ log f(x)dx 



J f(x)dx "^^^ 



Z ^ > g ° , 



A — ajQ 



OU bien 



(A). 



^ f/''f{x)dx\ 



. / \ogf{x)dx<{X — x^:)log\ ''°_^ . 



Xr. \ 0 



Dans tout ce qui suivra nous supposerons toujours que la fonction que l'on considère 

 est continue et positive entre les limites admises, et que X > x^. 



Avant de passer aux applications de l'inégalité (A), nous établirons quelques autres 

 formules analogues. Commençons par la considération des moyennes harmoniques. Nous 

 appellerons moyenne harmonique des nombres a^, a^, a^. . . .a^ l'expression 



