Sur oi'ELonES inégalités concernant les intégrales etc 3 



or, on sait que cette moyenne est inférieure à la moyenne géométrique des nombres a^, a^. . . .a^, 

 eu sorte que l'on a 



(а^а.^Яу . . . . а^) >> ^ ^ 1 



On vérifie de suite cette inégalité en lui donnant la forme 



sous laquelle on retombe sur la relation bien connue entre la moyenne arithmétique et la 

 moyenne géométrique des nombres — , 



Si l'on suppose que a^, a^^ a.^. . . .a^ représentent les valeurs successives de la l'onc- 

 tion continue f{x) depuis œ = x^ jusqu'à x - X, on aura 



11 1 „ . J dx 



f(x) X-^Co' 



et comme de plus la valeur de la moyenne géométrique 



i_ 







dans la même hypothèse, est égale à 



\og f[x)dx 



on aura la formule 



f\og{[a)dx> [X-x^)\og^^. 



Observons bien que les deux inégalités (A) et (B) donnent deux limites, l'une supé- 

 rieure, l'autre in férieure^ de l'intégrale f log f{x)dx, exprimées au moyen de f f{x)dx et 



X da; 



f Plus bas, nous ferons usage de ces formules, auxquelles on pourrait aussi donner 

 la forme suivante: 



f{x) dx<{X- X^) log \-^r^ ) , 



en faisant i{x) = log /"(ж). 



