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Y. BnUlNIAKOWSKY, 



Prenons encore la relation bien connue 



(a,' H- a/ -4- -b -+- aj) (6,^ -ь 6/ -i- -t- -t- 6^') > 



[ap^ -+- a,p^ -+- aj)^ -f- . . . . -f- aj>^- 



Si l'on suppose que les nombres a,, a^, . . .a^ soient les valeurs successives de la 

 fonction continue (^{x) depuis x~x^^ jusqu'à x = Ж, et que b^, b,^^ b^. . . .b^ représentent 

 la suite des valeurs d'une autre fonction continue ^{x) entre les mêmes limites, l'inégalité 

 précédente se trouvera remplacée par la suivante: 



(C) f^<ù{xf.dx.J^ ^{x)\dx>[f^ 9( x) Ф [x) dx ) , 



De cette formule, qui se réduit à l'égalité pour ф(ж) = Хф(ж), X étant une constante, 

 on pourra déduire d'autres inégalités particulières. Ainsi, en supposant 



on obtient 



(Ö) Q{x)dx.f^ß^>iX-xJ', 



ou, ce qui revient au même, 



.Tg Wq 



En faisant dans (C) ф(л;)= 1, on a cette autre formule 

 (E) (f ^{œ)dxy<{X—x^)f\ (xf . dx. 



Il est d'ailleurs visible que toutes les inégalités que nous venons d'établir se trans- 

 forment en égalités pour X=x^^ et qu'en général les deux membres différent d'autant 

 moins entr'eux, que la différence X — x^ des limites est plus petite par rapport à chacune 

 d'elles. 



Les formules que nous venons de donner, et beaucoup d'autres qu'on obtiendrait par 

 les mêmes principes, peuvent donner lieu à quelques applications intéressantes. Nous al- 

 lons en donner quelques exemples. 



2. Et d'abord des formules (A) et (B) on déduit très facilement la relation qui lie la 

 fonction variée avec sa première dérivée. En effet, si l'on pose 



\ogf{x) = F'{x), 



