Sur quelques inégalités concernant les intégrales etc. 



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on aura 



f\ogf(x)dx = F{X) — F{x^) 



ff{x)dœ = fe^^'^'^Uœ = {X — œ^) Ме^' = (X— ^j/'[^o-X(ir-a.o)] 



Гш = ^'^'^ = ^o) ^«"""^"^ = (^Y — ^o) e-^ [-o-bX'(X-.o)]^ 



les facteurs numériques X et X' étant tous deux compris entre 0 et 1 , et correspondant 

 respectivement aux moyennes arithmétiques des fonctions е^'И et e— ^'H Dans cette hypo- 

 thèse les formules (A) et (B) donnent 



F{X) - F{x^) < (X-œ^) F' [x^ -h X {X-œJ] 



F(X) _ F{x^) > (X-x^) F' [x^ X' (X-x^)]. 



Donc, puisque la fonction F'(x) est supposée continue entre les limites x^ et Л', il se trou- 

 vera nécessairement un nombre ö*, compris entre X et X' tel, que l'on aura 



F{X) = F(x^) [X— x^) F' [x^ û (X — x^)] , (4) 



Cette manière de parvenir à la relation (4) présente l'avantage de préciser, sous un 

 certain point de vue, la fraction û qui, comme nous venons de le voir, sera toujours com- 

 prise entre X et X', dont le sens est parfaitement défini *). 



Pour donner une application numérique de la formule (4), soit 



F' (x) = log f{x) = log = 2 log a; ; 



nous trouverons d'abord 



fjix) dx = = (X - x^) e^'^g [-o-X(î-xo)]^ 



d'où, pour déterminer X, on aura l'équation 



[x^ H- X {x—x^)f = ^:z^±-i, 



*) On peut observer que dans la formule (4) le nombre 9 est précisément celui qui correspond à la moyenne 

 arithmétique continue de la fonctiou F'(x) entre les limites Xq et X, c. à d. que l'on a 



F' [x^-t-g(X-x^)] = MF'(x). 



Cette assertion devient évidente en faisant attention que 



F{X) - F(xo) = ff^ F'(x) dx^lX- xo) MF' (x) = (X- x^) F' [x^ -^9{X- Xo)]. 



