Sur o^lques inégalités concernant les intégrales etc. 1 3 



Le produit de toutes ces équations donne 



M^^ie^.e-'?^^)?, (S) 



ф(.7;) représentant, pour abréger, la somme 



2-+-3-+-4-*- — -*-^ = фИ (») 



Remarquons, en passant, que la formule (8) conduit à l'inégalité bien connue 



1-^111 1 

 logj;> -^-H 3-1-^-f- -+--. 



En effet, supposons гі^=1; la série des moyennes géométriques (5), en vertu de la 

 formule (8), deviendra 



^ ~*~ Ж^Т? ІфТзУр е<р(ж)р ~*~ 



et l'on aura 

 d'où 



log > 9 (x), 



comme nous venons de le dire. Rappelons à cette occasion que, pour de très grandes va- 

 leurs de ж, l'on a 



ou bien 



loga; = 9(^;) -H 0,422785 



Revenons maintenant à la règle sur la convergence des séries que nous nous sommes 

 proposé d'établir. La série (10) est convergente pour toute valeur de p supérieure à 1, et 

 divergente pour p < 1. Soit une nouvelle série 



F,-+- F^-H FgH- -f- F^_,H- F^-f- (Il) 



On sait que si, pour des valeurs croissantes de x, le rapport reste constamment au- 

 dessous du rapport analogue d'une série convergente 



u^-\~u^-*-ii^-^ . . . . -»- , -+- . . . . , 



la série (11) sera également convergente. Comparons donc le rapport ~- au rapport 

 1 1 1 ^ 



pour que la série (11) soit convergente, il faudra que l'on ait 



