Sur quelques inégalités concernant les intégrales etc. 



15 



pour x = oo et dans l'hypothèse de Lm. = 1 • Si l'on suppose ^ /.^ et 



qu'on se débarrasse dans l'équation précédente du facteur commun ж, il suffira de démon- 

 trer que l'on a à la limite 



\oglc'=k—l. 

 Or, en écrivant cette équation sous la forme 



et en développant l'exponentielle, on a 



On voit de suite que cette inégalité est satisfaite à la hmite, c. à d. pour k=l. 



Si l'on opérait sur la série (10) comme nous venons de le faire par rapport à la sé- 

 rie (7), on obtiendrait un nouveau caractère pour juger de la convergence. Mais la nou- 

 velle formule se présenterait sous une forme plus compliquée que la précédente, et con- 

 tiendrait une intégrale définie. 



Il sera très facile en suivant la marche qui vient d'être indiquée, et en employant les 

 différentes formules établies dans cet article, de déduire d'autres règles, plus ou moins 

 commodes, pour juger de la convergence d'une série. 



On pourrait aussi, dans le même but, employer des moyennes discontinues. Ainsi, par 

 exemple, si pour la série 



on forme les moyennes géométriques discontinues 



1, -V, 



2^? (2.3)^P (3.4)^P 



cette nouvelle série sera convergente et divergente en même temps que la première, c'est-à- 

 dire suivant que l'exposant p sera plus grand que 1, ou, au contraire, inférieur ou égal à 1. 



5. Toutes les formules (A), (B), (C), (D) et (E), relatives aux intégrales définies or- 

 dinaires, subsistent aussi pour les intégrales aux différences finies, en supposant également 

 que les fonctions sous les signes d'intégration restent positives et finies pour toutes les 

 valeurs attribuées à la variable. Supposons que cette variable reçoive successivement les 

 X valeurs équidifférentes 



■^0' '^0 ' 2 , . . . . H- a; — 1 = Ä', 



en admettant que ne soit pas inférieur à 1 ; faisons 



^fH = fK)-*-f(x„-+-l)-b-fK-b2)-^-. . . .-Hf(A'), (15) 



