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l'ÉÇUITIORI ALdKßßlQITE 



À L'AIDE 



DE LAQUELLE ON DÉTERMINE LES OSCILLATIONS TRÈS PETITES 

 В'Ш SYSTÈME DE PRIKTS MATÉRIELS. 



1) L'intégration des équations différentielles linéaires du second ordre, à coefficients 

 constants, qui déterminent les oscillations trés-petites d'un système de points matériels, 

 dépend de la résolution d'une équation algébrique d'un degré égal au nombre des variables 

 principales, qu'il faut exprimer en fonctions du temps. Cette équation se présente aussi 

 sous une forme particulière dans la théorie des inégalités séculaires et dans plusieurs 

 autres questions de mécanique et de géométrie. Elle jouit essentiellement de la propriété, 

 qu'elle a toutes ses racines l'éelles, proposition qui a été démontrée par: Lagrange '), 

 Laplace ^), Sturm ^), Cauchy ''), Jacobi ^), M. Borchardt^) et M. Sylvester 

 Lagrange et Laplace ont prouvé de plus que les intégrales générales des équations 

 du mouvement ne doivent pas contenir le temps hors du signe sin, et conclurent de là 

 que l'équation dont il s'agit ne peut avoir de racines égales. Sturm a annoncé qu'il a 

 trouvé aussi une démonstration de cette seconde propriété de l'équation. Cauchy admet 

 l'existence des racines égales, mais ne prouve pas que cette circonstance se présente 

 réellement. 



Dans le mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, je montre par des 

 exemples que l'équation dont il s'agit peut avoir des racines égales, mais que cela n'en- 

 traîne nullement la nécessité , que le temps soit hors des signes sm ou cos dans les 

 intégrales générales des équations du mouvement. Je donne ensuite une démonstra- 

 tion de la réalité des racines de l'équation, considérée dans toute sa généralité. Enfin je 



1) Mécanique Analytique, T. I, 2* édit., page 347. 4) Exercices de mathématiques, T. IV. 



2) Mécanique Céleste, T. I. 5) Journal de Grelle, T. XXX. 



3) Bulletin des sciences mathématiques, de Férus- 6) Journal de Liouville, T. XII. 

 sac, T. ХП. Extrait d'un mémoire sur l'intégration d'un 7) Philos. Mag. 1852, 1853. 

 système d'équations difiérentielles linéaires, présenté à 



l'Académie des sciences le 27 juillet 1829. 



Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences, Vile Série. 1 



