2 J. SOMOF, 



fais voir, comment on doit former les intégrales générales des équations du mouvement 

 dans le cas des racines égales, et pourquoi le temps ne se trouve pas hors des signes 

 sin et COS. 



2) Supposons qu'il s'agisse d'intégrer les équations 



(1). 



- ax -i-by = 0 



- bx -i- cy = 0 



qui se rapportent, si l'on veut, au mouvement dans un plan d'un point, dont les coordon- 

 nées rectangulaires sont x, y; t désigne le temps et a, 6, с des constantes, dont deux a et с 

 sont positives. 



On peut satisfaire à ces équations par des intégrales particulières de la forme 

 ж = Л sin (pi), «/ = ßsin(p<), 



ou 



^ = ^cos(pO, y =^ в co?,{çt), 

 en prenant pour ß, ? des constantes assujetties aux conditions 

 ((а—д"~)Ач-ЬВ=0 



(2) 



ІЫ_н(с — p^)ß = 0. 



Par l'élimination de ^4 et ß on aura, pour déterminer p'^, l'équation du second degré 



(3) ?^ — (a c) p^H- ac — 6'^ = 0, 



dont les racines, toujours réelles, seront positives si l'on a 



ac — 6^> 0, 



et qui deviennent égales quand 6 = 0 et a = c; cette dernière hypothèse réduit les équa- 

 tions (1) à 



— ^ax = 0 



dont les intégrales générales seront évidemment 



x= Asm (t Va) -+- A' cos (< Va) 



y = B sin {t Va) -+- B' cos {t Va) 



A, B, A', B' étant des constantes arbitraires. Par conséquent l'égalité des racines de l'é- 

 quation (3) ne fait pas sortir le temps t hors des signes sin et cos dans les intégrales 

 générales. 



