Sur l'équation algébrique des oscillations très-petites d'un système de points matériels. 1 1 



est divisible par z — a, ou ne l'est pas. Le second cas s'accorde avec le théorème; dans 

 le premier, la fonction (12) 



^=(:)^'-(:)'« 



s'évanouit pour 2 = a. 



Or, en vertu de ce que nous avons démontré au n°4 par rapport à Г, la fonction 



^=Ы:) (I) 



ne peut s'évanouir que pour 



(;)=o,(o=o,....(:)=o 0=0; 



par conséquent 2 = a est une racine commune de ces équations, et la fonction A sera donc 

 divisible par (2 — af; elle ne peut être divisible par une puissance plus grande de z — a, 

 car ce facteur est seulement au second degré dans le terme 



v(:)- 



Ainsi {^^^' — -^(r) P^'^^ divisible par une puissance supérieure à (z — a)^ 

 Il faudrait pour cela que D contient z — a au premier ou au second degré. En effet, si 

 l'on pose 



(z-a)9(z), D = (z — a)7(z), 



désignant par cp(z) et f(z) des fonctions qui ne contiennent pas le facteur z — a, on aura 



[l)l)'—[[)D = {z — aY\{p-\) f{z) Ф (z) (2 - a) [9 (z) f (z) — 9' {z){{z% 



ce qui fait voir que p ne peut être plus grand que 2. Posant p = 2^ le facteur compris 

 dans les parenthèses \ \ ne peut être divisible par z — a; par conséquent z — a sera au 

 second degré dans la fonction que l'on considère. Si l'on pose p = 1 le facteur de la paren- 

 thèse I j sera divisible par z — a, et la fonction sera encore divisible par (z — af. Ainsi, 

 le théorème est démontré dans le cas de m = 1. 



Supposons maintenant m > 1. Alors (^^^ contient le facteur (z — a)'"~\ et s'éva- 

 nouit donc pour z = a, ce qui fait évanouir la fonction (12) et par conséquent les fonctions: 



et aussi D, en vertu de l'équation 



^=\і(0--^Д2)----^ѵ(;) (13) 



Soit (2 — a)"^ la plus haute puissance de z - a, par laquelle les fonctions {^Л, (^]..../^) 



