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Le rapport '-^ s'évanouit pour 2 = z, si le degré de г — z, dans ö est — 1; il 

 reçoit une valeur finie lorsque 2 — s, est au degré m, dans D, et devient qzo= si ce degré 

 estm, ç.. 



Dans le premier cas le rapport change de signe pour z = z^, et comme il dimi- 

 nue, il passe du positif au négatif. Il doit donc encore changer de signe pour une valeur 

 de z comprise dans l'intervalle de — ~ à 2^; cela ne peut arriver que lorsqu'il devient in- 

 fini, et pas plus d'une fois; en efî"et, le rapport diminuant quand z croit, change le 

 signe — en -i- chaque fois qu'il devient infini, et si l'on admet que cela arrive pour deux 

 valeurs a et ß , comprises dans l'intervalle de — ~ à , il faudrait admettre que le rap- 

 port change encore de signe du -4- au — , en passant par zéro pour une valeur de 2 dans 

 l'intervalle de a à ß; ce qui ne peut être, parce que la fonction n'a pas de racines 

 dans cet intervalle. Ainsi quand la fonction D a — 1 racines égales à 2, elle doit avoir 

 encore une racine moindre que z^, et en tout elle aura racines dans l'intervalle: 



— 00. . . . Dans ce cas le rapport devient évidemment négatif pour une valeur de 

 z > 2^ et très- voisine de 2^. 



Quand D a racines égales à 2^ , le rapport ne change pas de signe pour z — - z^ 

 et ce signe peut être -ь- ou — ; dans le premier de ces deux cas, le rapport doit changer 

 le signe — en -+- pour une valeur z < 2^ en devenant infini; la fonction D aura donc une 

 racine 2 < 2^; mais si le rapport a le signe — pour z = z^ il doit évidemment conserver 

 ce signe pour toutes les valeurs 2 < 2^, et D n'aura pas de racines <2,. 



Enfin, si D a m, -+- 1 racines égales à z^, le rapport devient infini pour z — z^ en 

 changeant le signe — en h-, et ne peut changer de signe pour une valeur 2 < z^. 

 En résumé, la fonction D a dans l'intervalle — . . .s^, 

 wij ou H- 1 



racines réelles, y compris les racines égales à z^; dans le premier cas, pour une valeur 



2 > z^ et très-voisine de 2^, le rapport ^ a le signe — , et dans le second cas le signe -1-. 



Raisonnant de même, on verra que la fonction D aura -+-m^ ou -+- -+- 1 ra- 

 cines dans l'intervalle — . . .z^, y compris les racines égales à z^ et z^; dans le premier 



cas le rapport pour une valeur 2 > z^ et très-voisine de z^, aura le signe — , et dans 

 le second cas le signe -1-. Ainsi de suite .... Enfin on trouvera que D a 

 т^-і-т^-і- . . . .m-^ 



ou /Hj -b ÎTJ^ H- .... nij^ -f- 1 



