Sur l'équation algérriour des oscillations thès-pktites d'un système de points matériels. i5 



racines dans l'intervalle — ~. . . .Zj^, y compris les racines égales à z^, z,^. . . .z^, et pour 



une valeur s > z^ très-voisine de le rapport aura le signe — dans le premier cas et 

 le signe H- dans le second. Pour z = -4-~ le rapport devient nul, en diminuant; il doit 

 donc être positif pour des valeurs très-grandes et positives de z; par conséquent quand le 

 rapport a le signe — pour 2 > Zj^, dans le voisinage de z^, il doit changer une fois de signe 

 en passant par l'infini pour une valeur de 2 > z^, et 1) aura donc une racine plus grande 



que Zj^. Mais quand le signe de pour s > z,^ voisine de z^ est 4-, le rapport ne peut 

 changer de signe pour aucune valeur 2 > z^. 



On voit donc que dans tous les cas la fonction D aura 



-I- -4- . . . . H- 1 



racines réelles, y compris les racines égales à z,, z.,. . . «z^. Or, les racines de la fonction 

 (^^^ étant supposées toutes réelles, la somme -t-m^-t- . . . . m-^ est égale à l'exposant 

 de {j^^ qui est n — 1 ; on a donc 



-4- w., -4- . . . • ^ ~ 



c.-à-d. D a toutes ses racines réelles. On voit encore par les raisonnements précédents 

 que les racines de D qui ne sont pas égales à z^, z^. . . .z^^, sont distribuées de manière 

 que chaque intervalle 



c»^ Zj, Z., . . . .Z^, H- 03 



ne contient qu'une seule de ces racines. 



La fonction (^^^^ est par rapport à ce que D est par rapport à (^^); par consé- 

 quent toutes les racines de seront réelles quand jouit de cette propriété; ainsi 

 de suite. On voit donc que toutes les racines de D seront réelles quand le dernier déter- 

 minant mineur principal 



/1, 2....P-I, p-i-l....n\ 



Vi , 2. . . .p - 1 , pH- 1 . . . . „; — — V " V 



aura une racine réelle. Or cette condition est remplie; les racines de D sont donc en effet 

 toutes réelles. 



9) Si la fonction 



conserve le même signe pour toutes les valeurs réelles de q^, et ne s'évanouit 



que pour 



