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J. SOMOF, 



son discriminant c.-à-d. le déterminant 



et aucun des déterminants principaux (rs)* * ' * ' dérivent, ne peuvent être 



nuls. De plus, on démontre, comme au n° 4, que leurs valeurs seront toutes positives 

 quand est positive, et auront alternativement les signes — et h- quand est négative. 



Si la fonction peut s'évanouir pour des valeurs de distinctes de zéro; 



il faut alors que le discriminant (15), ou quelques uns des déterminants mineurs principaux 

 qui en dérivent, soient nuls. 



Si la fonction a le signe — , la fonction des forces U reçoit une valeur maximum 

 à l'état de l'équilibre des forces. C'est la condition nécessaire pour que l'équilibre soit 

 stable ou que les mouvements du système que nous considérons restent toujours très 

 petits. Cette condition admise, il est facile de prouver que toutes les racines de l'équation 

 D = 0 sont positives. 



Supposons en premier lieu que ni le discriminant (15), ni aucun de ses déterminants 

 mineurs principaux ne soient nuls. 



Faisant z = 0, les éléments des déterminants D et se réduisent aux éléments de 

 la table (15); par conséquent ces deux fonctions ne s'évanouissent pas pour z = 0 et ont 



des signes contraires; le rapport ~ aura donc le signe — . 



Supposant que les racines de (^^ j sont toutes positives, on prouvera, comme au n°8, 

 que la fonction D aura n racines réelles dans l'intervalle 0. . . .-ч-оа, c.-à-d. toutes ses 

 racines seront aussi positives. Or, cette propriété a lieu pour le dernier déterminant 



/1, 2.. . .p — 1, „-»-1 n\ , 



P,P \l, 2....P-1, p-4-1...,r/ p,p p,p 



parce que > 0 et < 0; on voit donc que toutes les racines des fonctions: 



/1, 2. .. .p-l, ç-Hl....n\ /rs\ /r\ ^ 



\l,2....p-l,p-^l,....q-l, ?-Hl....n;' \rsr \r)' " 



sont en effet positives. 



Si, pour 2 = 0, la fonction ) s'évanouit et D ne se réduit pas à zéro, le rapport 



(r) 



change de signe pour z = 0 en passant de -на — , et on conclut, comme précédem- 

 ment, que si a toutes ses racines dans Pintervalle 0 .... -h ~, celles de D le seront 

 aussi. 



