Sur l'éouation algébrique des oscillations ttès-pe'utes d'un système de points matériels. ] 7 



Supposons maintenant que s = 0 est racine de 1) = 0 , simple ou nniltiple , soit m 

 généralement le degré du facteur z dans D. Alors, en vertu du n° G, il y a dans la suite 



(0.a)---(:) 



au moins une fonction j qui n'a que m — 1 racines égales à zéro; le rapport devien- 

 dra donc infini pour z = 0, en changeant le signe — en -»-, et, '^^ [l'j n'a pas de racines 

 négatives, le rapport ne pourra pas changer de signe pour une valeur s < 0; par consé- 

 quent D ne peut également avoir de racines négatives. Par la même raison aucun des 

 déterminants ^J^j, . . . . (^^^ n'aura de racines négatives si tous les déterminants de 

 la forme ^^^^jouissent de cette propriété, et ainsi de suite. On conclut donc que la fonc- 

 tion D n'aura pas de racines négatives quand cela a lieu pour les détermhiants du premier 

 ordre : 



Or, a^^, 022* • • - ^nn ^0"^ toutes positives et 6,.,, b^^. . . .b^^ négatives ou nulles: donc, 

 aucune des fonctions и, u^^. . . .u^^ ne peut en effet avoir de racines négatives. 



On peut démontrer de la même manière, que toutes les racines de l'équation D = 0 

 sont négatives, quand conserve le signe -+- pour toutes les valeurs de д^, (/^. . . .q^^. 



La démonstration de Lagrange (Mécanique Analytique, T. I, 2*^ édit. , page 361), 

 qui admet que les racines de l'équation sont inégales, s'applique aussi au cas des racines 

 égales. 



Supposant en général que Dam racines égales à <f et {^^ ^ seulement m — 1, mul- 

 tiplions l'équation identique (11) par '^--^-^^'^j'^rw^Y' ■> et posons ensuite z = :f\ nous aurons 



о=,^2а.,(:)'--(;у"-ѵ..,,л:)-"(;)'""^ 



d'où l'on tire 



? ^ /^анг — 1) /^am — !)■ 



Le dénominateur est nécessairement positif, car c'est la fonction 27', dans laquelle 

 îiî Ч2' • • - Яп ^^^^^ remplacées par (^Л , ( ....() , et le numérateur 



sera négatif ou positif, suivant que V,^ est négatif ou positif pour toutes les valeurs de 

 5^, q^. . . .q^^, lesquelles sont remplacées ici par (^^y '', (^2)^'" '\ . . . (^У"' ainsi 



