Sur l'équation algébrique des oscillations trks-petitks d'i n système de points matériels. 19 



et on établit de la même manière encore le système 



q^^H' (^[) cos (çt), q.^== H' (l^j cos içt). . . . ç,^ = //' COS (pf), 



h' étant une nouvelle constante arbitraire. 



Si la racine devient multiple, et si m est le degré du facteur z — p^ dans 1), alors, 

 comme l'on sait, les dérivées des m — 1 premiers ordres par rapport à p des intégrales 

 précédentes seront aussi des intégrales particulières qu'il faut introduire dans les intégrales 

 générales. La différentiation par rapport à p fait ordinairement sortir le temps t hors des 

 signes sin et cos. Mais, pour le type des équations (7), les termes qui contiendraient ainsi 

 t s'évanouissent toujours. En effet: si l'on prend la dérivée de l'ordre p par rapport à p de 



W(;)sin(p0 



on trouve 



Or (^^ j, ayant au moins m — 1 racines égales à p, s'évanouit ainsi que ses dérivées: 



dp ' dp2 • • • • ^pWi — 2 ' 



par conséquent la valeur précédente s'évanouit aussi quand p<Cm — 1, et pour p=^m — 1 

 se réduit à 



H sin (pO = H 2- - ^ p'" - • sin (pO = Щ ( ; )'"' ' sin (pO , 



où l'on a fait pour abréger 



2"-/Ѵ- = Я,е*^1І = (:)"-'. 

 Ainsi, les dérivées des w? — 1 ordres par rapport à p des intégrales 



//(;)sin(po, Я (;)sin(p<). ...//(;;) sin(po 



ne donnent qu'un système d'intégrales particulières 



й,(;у"-\іпм....//,(:)""-\і„и (16) 



qui ne contiennent pas le temps t hors du signe sin. Et si l'on prend pour {^^^ une des 



fonctions de la suite (^J^, (^^) (") qui ne contient z — p' qu'au degré m — 1, une 



au moins des valeurs précédentes, savoir Я, i^^^ sin (pi), ne pourra être nulle. 



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