SlR l'iMERPOLATION PAU LA MÉTHdDH DES MOINDKKS CARRES. 



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qui, d'après la piupriété connue des nombres polygonaux, s'évaluent aisément par seule 

 voie d'addition. Et comme cette série nous fournit l'expression de и avec les coefficients 

 les plus probables, on conçoit qu'elle ne laisse rien à désirer pour l'interpolation dans le 

 cas particulier où les valeurs de la variable qui correspondent aux valeurs connues de la 

 fonction sont équidistantes. 



Mais ce n'est pas le seul parti qu'on puisse tirer de notre série pour l'application; son 

 usage est aussi très utile dans tous les autres cas d'interpolation parabolique, comme nous 

 allons le montrer à présent, en indiquant la marche qui conduit aisément à la détermina- 

 tion successive de ses termes. On verra, d'après cela, que notre série procure un moyen 

 très propre pour évaluer, terme par terme, l'expression de la fonction interpolée и, et 

 qu'elle donne, en même temps, la somme des carrés des différences entre ses valeurs connues 

 î<i, г*2, My, . . , .м^, 



et celles qui résultent de l'ensemble des termes trouvés pour son expression. D'après quoi 

 on aura, sur le champ, l'erreur moyenne avec laquelle les termes trouvés de и repré- 

 sentent ses valeurs données, et par là on reconnaîtra tout de suite celui auquel on peut 

 s'arrêter. Ainsi, au moyen de notre série, on trouvera tout à la fois et le nombre de 

 termes de и qui sont importants pour l'interpolation et leurs coefficients déterminés par 

 la méthode des moindres carrés. Pour faire comprendre la supériorité de cette méthode 

 d'interpolation sur celles dont on se sert ordinairement, remarquons qu'elle donnera pré- 

 cisément, en général plus aisément, les mêmes résultats, que ceux que l'on trouve par la 

 résolution des équations fournies par la méthode des moindres carrés qui suppose que le 

 nombre des termes dans l'expression de и soit fixé d'avance. D'autre part, en déterminant 

 et le nombre de termes de и que l'on doit calculer et leurs valeurs prescrites par la mé- 

 thode des moindres carrés, elle sera, si ce n'est dans certains cas exceptionnels, })Ius ex- 

 péditive que la méthode d'interpolation de Cauchy qui est loin de donner les résultats 

 les plus probables découlant de la méthode des moindres carrés. 



§ I. 



D'après ce que nous avons montré dans le Mémoire cité plus haut, si les valeurs 

 données de la fonction и 



«3, 



qui correspondent à 



sont affectées d'erreurs de la même nature, et que l'on cherche son expression, par la 

 méthode des moindres carrés, sous la forme d'un polynôme de degré quelconque, on aura*) 

 и = А;Ф^ (œ) -t- А',ф, (x) АГ^фз {x}4- , 



*) Nous n'emprunterons de notre Mémoire antérieur que la forme de cette série; mais tout ce qui est impor- 

 tant pour son application sera donné dans ce qui suit. 



