Sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés. 



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(X— 1,X) = (X — 2,X-+-1) (X— 1,Xh- 1) = (X— 2,X-+-2) 



— ^_i(>^ — 2,X) — .6)^_,(X— 2,X-b 1) 



§ ^11. 



Les formules que nous venons de donner pour déterminer successivement les termes 



dans le développement de и d'après notre série, et pour évaluer, en même temps, la somme 

 des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de и représentent toutes ses va- 

 leurs données, nous fournissent une méthode d'interpolation parabolique, importante sous 

 plus d'un rapport. En vertu de la propriété remarquable de notre série, cette méthode 

 donne l'expression de и sous forme d'un polynôme avec les coefficients les plus probables. 

 Sans fixer d'avance le nombre de ses termes, par cette méthode, on les trouvera successi- 

 vement l'un après l'autre , et on reconnaîtra tout de suite celui auquel on peut s'arrêter 

 d'après la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de и représen- 

 tent ses valeurs données, somme qui donne sur le champ l'erreur moj^enne de leur repré- 

 sentation. De plus, il est aisé de voir par la composition de nos formules que lorsque le 

 nombre des valeurs données de и et celui des termes de son expression sont considérables, 

 dans notre méthode d'interpolation les calculs sont moins prolixes que dans celles mainte- 

 nant en usage. 



Cette prolixité des calculs est due presque entièrement aux différentes muItipHcaiions 

 et divisions dont le nombre s'accroît plus ou moins rapidement, avec ceux des valeurs don- 

 nées de и et des termes dans son expression. C'est sous ce rapport que nous allons mon- 

 trer l'avantage de notre méthode d'interpolation, en laissant de côté les additions et les 

 soustractions qui, dans le travail de ces calculs, n'entrent que pour bien peu de chose, et 

 pour lesquelles on peut aussi bien manifester l'avantage de notre méthode. 



Pour trouver par nos formules l'expression de и avec X h- 1 termes, on devra évaluer 

 3X -H 1 sommes 



а;ф„и, а',Ф,и, 



