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mière indépendante de la quantité' y\ et la seconde indépendante de la quantité' x, 

 hypothèse que tous les géomètres, qui ont cherche' la variation des diffe'rences 

 partielles d'une fonction à deux variables, ont e'te', en quelque sorte, force' de faire 

 par la nature même de leurs calculs. 



Cependant la supposition dx Inde'pendante de j, et ôy inde'pendante de x, semble 

 re'sulter des principes du calcul diffe'rentiel les plus simples et les plus e'iémentaires ; 

 et tant qu'on n'a pas prouve', que ces principes sont insuffisants, ou que l'applica- 

 tion qu'on en avait faite est inexacte, il restera à de'cider, si l'on doit pre'fe'rer les 

 formules de M. Poisson pour la variation des diffe'rences partielles d'une fonction à 

 deux variables, à celles d'Euler et d'autres ge'omètres relativement au même objet. 

 A la vérité' , les dernières sont un cas particulier des premières ; mais ce cas parti- 

 culier est, peut-être, celui qui doit toujours avoir lieu. 



Cetle question, nous la décidons pour les formules de M. Poisson. Nous dé- 

 montrons, que les géomètres qui ont traité le calcul des variations des intégrales 

 doubles, y compris Euler lui-même, n'ont pas convenablement différentié avec la 

 caractéristique d les différences partielles de la variable principale. Mais on verra 

 aussi, que l'introduction des variables accessoires dans cette sorte de questions n'est 

 point nécessaire. Le mémoire de M. Poisson sur le calcul des variations sera tou- 

 jours cité dans l'histoire de l'analyse différentielle. C'est dans ce mémoire que l'on 

 trouve, pour la première fois, la variation complète d'une intégrale double. Elle y 

 est déduite de la considération des variables accessoires. Mais on peut s'en tenir 

 aux principes de l'immortel auteur de la Mécanique analytique, principes qui 

 réunissent toute la généralité désirable et la plus grande simphcité. 



Nous montrerons d'abord, dans ce qui va suivre, en quoi consiste l'inexactitude 

 échappée aux géomètres qui ont cherché la variation des différences partielles d'une 

 fonction à deux variables, et nous indiquerons ensuite un moyen pour trouver la 

 variation d'une intégrale multiple quelconque. 



I. Désignons par z une fonction de deux variables indépendantes x et y, et fai- 



dz , dz d^'z d'^z . d'z . . , 



