Mémoire sur le calcul des variât, des intégr. mult. 



puis donnons aux quantités x, y, z, respectivement, les accroissements simultanés 

 âz, âj, âz, que nous regarderons comme fonctions infiniment petites et arbitraires 

 de X et de j; par l'effet de ces accroissements, les quantités z, z^, z" devien- 

 dront , respectivement, z' -j- âz', z^ -p dz^ , z" -\- ôz" ; proposons nous de 



trouver les variations z, ôz^ , âz" 



Considérons d'abord âz\ Comme z on avait cru que pour avoir âz' 



il fallait différentier à l'ordinaire, selon d^, la quantité ce qui avait fourni 



un résultat inexact ôz'~^^ — ~ > Pour découvrir la source de l'erreur 



ax dx 



il n'y a qu'à remonter à l'origine de la quantité dz'; si l'on désigne, pour un in- 

 stant, x-\-dx, y-\-dy, z-j-dc, respectivement, par X,Y,Z, on aura évi- 

 demment 



et 



dX 



les différences partielles z^ et ^ sont prises, la première, en regardant 

 comme constante y, et la seconde, en considérant F, c^est-à-dire y-\-ày, 

 comme invariable; or, on avait cru, que les deux différences ^ et z devaient 

 être rapportées à la même hypothèse dyzo^ c'est en cela que l'on n'était pas exact. 

 Kemettons pour yT, F, Z leurs valeurs x -f- dx, y^ôy., z -\- dz. Nous aurons 



, _ d{z + Sz) _ , __ d(c + Sz)—z\l(x-\.,^x) 

 (-i(.c-f-ô>) ^ ■ d(x-{-t{x) ' 



les différentielles à(z-\-âz) et d(x-]-dx) sont prises en faisant (l(y-]~ây) ~o 

 Or 



d (z + &) = (/ + i^) rf^ + + 'ly 



