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Il n'est pas difficile de trouver la variation des dlffe'rences supérieures ^-^^»*" ; 

 on verra avec facilité que l'on a en général 



- d'il . d'u , d'T)u 



^ dx'dy'"dz".~ dx'dy"dz".-. I" dxU/"dz".~ 



III. Ce qui précède suffit pour trouver la variation d'une fonction U de u,x,y,z- • • 

 et des différences partielles de la variable principale u par rapport aux quantités 

 x,y,z--- Il n'y a qu'à différentier ?7en y faisant croître toutes les quantités • • 



et toutes les fonctions «, ^ ••• de leurs variations â. Or, les variations du, 



dx 



ù étant composées chacune de deux parties infinement petites, on peut, 



par les principes du calcul différentiel, en augmentant x, y,z-" respective- 

 ment de êx, ây, ôz — , ne faire croître d'abord les fonctions y, que des 

 premières parties Au^A ^'** leurs variations. Il en résultera dans V un 

 accroissement qui formera la première partie de la variation ôU\ puis, sans 

 varier j, on augmentera la fonction u et ses différences des secondes 



parties jDm, •••• de leurs variations; l'augmentation qu'en recevra la fonc- 

 tion Î7, formera la seconde partie de sa variation. 



La première partie de la variation èU sera évidemment 

 du , dU dU - , 



en faisant varier dans les différences — , —, — .... dans la première, tout 



<tx ' dy ^ dz r ' 



ce qui varie avec dans la seconde, tout ce qui varie avec y, dans la troisième, 

 tout ce qui varie avec z, ainsi de suite. Désignons par DU la seconde partie de la 

 variation ôU\ cette partie est due à l'accroissement Du de la quantité k, accroisse- 

 ment qu'on doit appliquer à u partout où cette fonction se trouve dans U ; nous 

 aurons 



ÔV = + +■... + DU. 



