Blémoire sur le calcul des variât, des intégr. mult, ^3 



Kous nous dispensons d'écrire le de'veloppement de la différentielle DU.. 

 IV, Proposons nous de trouver la v.iriatîon de l'inte'grale de'finie 



F— fUdxdydz'-- 

 prise pour toutes les valeurs de x^y, z--- qui satisfassent à l'ine'gallté 



X < 0 



L e'tant une fonction de or, y, ^ 



La variation de l'inte'grale jUdxdy dz est, bien e'videmment, e'gale à la 



somme des variations de tous ses éle'mens différentiels; ainsi, pour avoir d/^ il n'y 

 a quà prendre l'intégrale de la variation è{U dx dy dz- • ■') ^ ce qui donnera 



àV—Sà{Udxdydz---). 



Or, on a, par le principe du calcul diffe'rentiel 



ô{Udxdydz- -■) — dUdxdydz \- Uô{dxdydz- ■ •) , 



c'est-à-dire, en vertu du § pre'ce'dent, 



d{Udxdydz:.)-(^^JxJ^'^dy^'^dz-{-.,.)dxdydz.., 

 + Ud{dx dydz- ■ ■) -j- DUdxdydz • • • ; 



donc 



<ïr = 4^ + f + f îii^i] ... . 



-f SDUdxdydz 



Nous de'montrerons tout- à -l'heure que 



ô{dxdydz---) — (^~-\-'i^-\-''^^.'>jdxdydz.., 

 il en re'sultera 



•^SDUdxdydz"-' 

 Dans les ditierentielles — r — - ■> — — —, — 4-— •••• on doit iaire varier, dans 



dx dy dz 



la première, tout ce qui varie avec x, dans la seconde, tout ce qui varie avec/, 

 dans la troisième, tout ce qui varie avec Zy ainsi de suite 



