46 0 s T R 0 G R A D s KY. 



ou bien, en ne tenant compte que des infiniment petits du premier ordre, 



Hdxdyd.-) = (^ + ^- + 1= + -) d.dydz.... 



YI. De'terminons, avant d'aller plus loin, quelles doivent être les limites des va- 

 riables jr,j, dans l'intégrale 



fUdxdydz 



e'iendue à toutes les valeurs de x^y,z qui satisfassent à l'ine'galite' L^o^ en- 

 sorte qu'aux limites de cette inte'grale on aura L — o. On se propose d'inte'grer 

 d'abord par rapport à jr, ensuite par rapport à j, après par rapport à ainsi de 

 suite. 



Admettons que l'e'quation L—o^ re'solue par rapport à :r, ne fournisse pour 

 cette variable que deux valeurs X ^ et X. Ces valeurs sont les limites de la variable 

 X et, en supposant que la fonction L reste ne'gative pour les quantités x com- 

 prises entre X ^ et X ^ on intégrera l'expression 



JU dxdydz 



depuis X ~ à la plus petite des deux racines X^ et X^ Jusqu'à x ~ à la plus 

 grande de ces racines. Quant aux quantités -s • • • , on doit leur donner toutes les 

 valeurs qui fournissent pour X ^ et X des quantités réelles, et, au contraire, on 



doit exclure les valeurs de j, z , qui rendent imaginaires X et X; or, dans le 



passage du réel à l'imaginaire, les racines X ^ et X deviennent, comme on le sait 

 par la tbéorie des équations, égales entrelles; donc aux limites de j, on aura 

 à la fois 



En éliminant x de ces deux équations, on en obtiendra une en j, ^ — qui appar- 

 tiendra aux limites de ces variables, et qui fournira, supposons le, pour j deux 

 valeurs Y ^ et J^, valeurs qui seront les limites entre lesquelles il faudra intégrer 

 JU dxdydz •' •• par rapport à/; on prendra l'intégrale depuis la plus petite des 

 <leux quantités Y ^ et Y jusqu'à la plus grande. 



