Mémoire sur le calcul des yariat. des iniégr, mult. 47 



On parviendra à la même conclusion de la manière suivante: après avoir inté- 

 gre' par rapport à jr, ou doit intégrer par rapport à 7, évidemment depuis la plus 

 petite jusqu'à la plus grande valeur de cette variable, en supposant x t\ y lie'es par 

 l'e'qualion L~o, et en conside'rant comme constantes; en diiïércntianl dans 



celte hypothèse, on trouve 



^ dL ^dL dy _ 



~" dx dy dx 



or, pour que j soit maximum ou niinimum, il faut qu'on ait ^ ~ 0, ce qui 

 donne pour la limite de y la même équation 0, que nous avons déjà 



trouvée. 



Pour avoir les limites relatives à la variable on traitera l'équation qui résulte 

 de l'élimination de x entre L~oet ^~o, comme on a traité l'équation L—o; 



or, on peut supposer que le résultat de l'élimination de la variable x entre 



Lzzo et ~—o est l'équation môme LuLo ^ dans laquelle on a mis pour x 



sa valeur tirée de donc, pour trouver les limites de on différentiera 



L — o par rapport à j, en considérant x comme fonction dje j; ce qui donnera 



dL . dL dx 



dy ' dx dy ' 



OU bien — zz 0 , à cause de ^~o. En éliminant y entre L — o et 



dy dx dy 



on trouvera une équation qui fournira les limites pour z. En continuant de la 

 même manière, on trouvera les limites pour toutes les variables qui entrent dans 

 l'inle'orrale 



jU dxdydz 



Ainsi, en résumant, les limites de x sont immédiatement données par la réso- 

 lution, par rapporta celle variable, de l'équation L-zz.o\ on trouve les limites de/ 

 en reso'vant, par rapport à celte variable, l'équation résultante de l'élimination de 

 jrentreXrzo, ^zzo; on trouve les limites de z en résolvant, par rapport 

 à cette variable, l équation résultante de l'élimination de ;r et j entre LziZo, 



dL dL . , , , 



-y-'zzo. -r — O, ainsi de suite, 



dx dy 



