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Nous avons suppose que les e'quations relatives aux limites de l'intégrale 



fUdxdydz — 



ne fournissaient pour chaque quantité' ^, z — que deux valeurs; mais il serait 

 facile, d'après ce qui pre'cède, de traiter le cas oia les e'quations dont il s'agit, four- 

 niraient plus de deux racines. Le nombre de valeurs limites pour chaque va- 

 riable x^y, z — , en 'y comprenant, s'il est ne'cessaire, les quantlte's infinies, doit 

 être pair. 



\ II. Pieprenons la variation 



faisons/ pour abre'ger Udx — P^ Uây — Uâz — R, nous aurons 



âF=/(^f^-^'^^';^-^...)dxdydz...^/DUdxJydz.: 

 Considérons d'abord la pariie 



de la variation pre'ce'dente ; supposons que de deux valeurs JC^elJ^, que fournit 

 pour X l'e'quation L— o, X soit la plus grande; nous aurons 



dxdydz---^f{P — P )dydz-.-' 



On de'signe parP ce que devient P quand on y met X pour jr, et par P ce que 



devient P pour x — X^. 



Comme la fonction L a une valeur positive avant de s'e'vanouir pour x — X^, 

 et une valeur négative avant de s'évanouir pour x ~ X ^ il s'ensuit que la dérivée 



est négative pour xzz.X^, et qu'elle est positive pour x~X: donc, en 

 prenant le radical positivement, on aura 



dL 



