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et d pour premier terme de la suite des premières diffe'rences qui en de'rivenl. Il 

 est facile maintenant de saisir ce que nous entendons par faculté du troisième ordre, 

 du quatrième ordre, et en ge'ne'ral, d'un ordre çue/conçue. 



'2. Le but principal, que nous nous sommes propose's ici, c'est d'e'tablir, pour 

 les laculle's du second ordre et à exposant entier positif, un the'orème analogue à 

 ceux de la puissance et de la faculté', ordinaire on du premier ordre, du binôme. 



Pour cela nous allons d'abord exposer quelques tbe'orèmes préliminaires, concer- 

 nant les faculte's du second ordre, et dont la de'monstration de'coule imme'diatement 

 de la de'fmition de ces fonctions. 



Le terme ge'ne'ral d'une suite arithme'tique du second ordre étant: 



d^{n—i)^d', où (« — !), — (n-i.){u- ^^ ^ 



L zzL {a-\-{n — i)d-\-{n—l)^d) ' v ; > ^ 



nm-]-n\d,d' Tn\d,d' , . , , ,,.n\d-\-md'.d' 



. a ^ ' —a^' y^(a-\-md-\-mJ') ' _ 



«1 , , , . ^,.m\d-{-nd',d' 



mm — n\d,d' in\d,d' \ / \ j , / \ j/\"l<^-f('" — ri)d\d' 



.a —a^ : {a-f- {m-n) d-\- {m-n)^d) ' ' ' 



TiT / , j , ,A"i — n\d-l-nd\d' ni\d,d' n\d,d' 



1 V . {a-\-nd-\- n^d ) ' ' a . û 



, ,.ri\ad,ad' n ,n\d.d' 



Y. (aô) ' ' —a X i> 



_ n\d »"|« . / j,n\ae-^bd-4-de,2de 



\l. a ' —{axb) ' ^ ^ ' 



3. Puisque pour les faculte's du premier ordre : 



' "—1 ' » La J 



commençons par examiner à quoi peut être re'duite la suite analogue: 



p n—çi,\d,d' jÇ,\d,d'-[ ri\d,d' . n—i\d,d'i\d,d' n^l\d,d' ,i\d,d' 



à \ n a b ' Xzz. a ^ -\- n a ^ ^ }, ^ ' J^n a ' 6 



'5 ' ' «-1 I n 



Or, les coëfficiens du binôme e'iant ge'ne'ralement doue's de la proprie'le' expri- 

 mée par cette équation: 



