Note sur la méthode des approximations successives. 287 



On peut comparer, si on le juge à propos, cette expression de y avec la va- 

 leur exacte de cette variable; pour trouver celle-ci, il n'y a qu'à multiplier 

 ^ y aj^ par 2dy, et intégrer depuis / — 0; on trouve d'abord 



1; = 1 - ^ - / + î / .3 (1-0 (1-/) (1 _ ^j') ; 



puis, en posant ^37^ — 



I - _ î) /((i _/) (1 _ /,y)), 



d'où 



dt VÇi— -) — yL(i_y2y(i_^.^2)3 • 

 En intégrant depuis / un 0, on obtient 



doiî, en faisant usage des notations de l'illustre géomètre de Konigsberg, 



«\ _ COS. am f) 



Y — sin. coam / V ( 1 ) ZZ — f rr-- — 5—^ — r^î 



V 2; ~ y[l_/^=sm.'am/y(l-^)] 



il est facile de faire voir qu'en de'veloppant convenablement l'intégrale pre'ce'dente 



en se'rie, suivant les puissances de a, les deux premiers termes du développement 



donneront l'intégrale approchée pre'cédemment trouvée, c'est-à-dire 



— ,vr. COS. / ^) - COS. 5/ V(i-'i) . 



y = cos. / y(l--^) -f a ^ ; 



en effet, supposons pour abréger /^(l — ~) z:! u el q) am u ; nous aurons 



COS. <p 



^ >/(! — sin. ^ ' 



ou bien, aux quantités de l'ordre et' près, 



/a 



y — cos. (p I ^' sin. ^ (p) ziz. cos. 9 H- — (cos. — cos. 3^}. 

 Or, comme 



, jr ^'p 



" / /(l— sic.» y)' 



on aura aussi aux quantités de l'ordre «' près 



