3i4 C 0 L L I N s. 



le développement des puissances fonclionales, que des formules très-complique'es 

 et dont il est difficile d'entrevoir le ve'ritable type de formation. J'ai donc repris 

 le fil des recherches y relatives, et les re'sultats auxquels ce nouveau travail m'a 

 conduit re'cemment, e'tant, à ce qui me semble, beaucoup plus satisfaisans que les 

 pre'ce'dens, j'ose aujourd'hui y rappeler l'attention bienveillante des analystes. Mais, 

 avant d'en commencer l'exposition, je vais, afin de la rendre entièrement inde'pen- 

 dante d'un renvoi quelconque ou de toute lecture pre'paraloire, la faire pre'ce'der 

 d'une re'capitulation succincte des Ide'es fondamentales. 



Qu'on s'imagine que, dans une fonction quelconque à une variable, (px, on ait 

 substitue' à la variable x la même fonction ^x, le re'sultat cp {(fx), que nous e'cri- 

 vons (p^x, sera ce que nous nommons una puissance fonctionale du second degré, 

 ou bien le carre' fonctional de la fonction propose'e (px. La variable x e'tant, 

 dans ce carre', de nouveau remplace'e par la fonction (px , ou, ce qui revient au- 

 même, le carre' fonctional (p^ x e'tant substitue' à la variable x dans la fonction 

 primitive (px, le re'sultat, (p^{<px) ou (f ((p^^) y que nous de'signerons par (p^x, 

 formera la puissance fonctionale du troisième degré, ou bien le cube fonctional de 

 la fonction (px. On entendra de la même manière par puissance fonctionale du 

 ^leme jçgj,g' \^ fonction ç)jr, le re'sultat (p'^x qu'on obtient en remplaçant, dans 

 (p^x, la variable x par (px, ou bien, en substituant, dans (px, le cube fonctional 

 (p^x à la variable de sorte que (p'^x — (p^ ((f^) ^ (f (ç»'-^) ! et ainsi de suite. 

 Il est clair, que la fonction (px, que nous nommerons la racine fonctionale des 



puissances (p^x, ç)^jr, (p'^x, (p'^x , pourra, à l'e'gard d'elle-même, être norame'e 



sa première puissance fonctionale, c'est-à-dire, que (p^x ~ (pX', et l'on comprendra 

 aussi aise'ment, que (p°x ~ x. Chaque puissance fonctionale d'un degré quelconque, 

 (p"x, aura donc sa variable, x, sa racine (px, et son exposant, n. 



Cela pose', le but principal de nos recherches actuelles consistera à développer 

 la puissance fonctionale du nième degré' d'une fonction quelconque donne'e, (px, 

 i° en une se'rie suivant les puissances (ordinaires) , à exposans entiers et positifs, 

 de la variable x, de sorte que les coëfficiens de ces puissances ne soient que des 



