JNouvelles recherches sur la théorie des puissances /onctionales. 3iS 



fonctions de l'exposant n et de certaines constantes, de'pendantes de la nature même 

 de la fonction propose'e ; et 2° en une se'rie suwant les puissances, toujours à expo- 

 sans entiers et positifs, de F exposant fonciional n, et dont les coëfficiens soient des 

 fonctions seulement de la variable x et de certaines quanlite's constantes. 



Occupons-ncus d'abord du premier de ces deux objets. Pour cela, observons 

 qu'en vertu du the'orème de Maclaurin il faudrait former, par des difle'rentiations 

 successives, les dérive'es des diffe'rens ordres de la fonction ç)"^, et y faire, dans 

 chacune, x ~ 0. Ceci donnerait, par exemple: 



d'^f"x £?.r/)"x ^ \ dx y , . „ - . '/ \ ' 



T*- — d^- — 9(9 cp(cp^)'(fxK 



\dx • fp'(^rf,"~^x) ' dx-(p\rf''~^x) ' ' dx-(fi\>ix) ' f'x J 



expressions, qui deviennent toujours de plus en plus complique'es et ne se rédui- 

 sent point pour x~0. Cependant, ces mêmes expressions gagneraient de'jà beau- 

 coup en simplicité', si, au-lieu d'y faire :r — 0, on y prenait x zzz.r, en dc'signant 

 par r la racine, ou l'une des racines, de l'e'qualion tpx ~ x. En effet, puisqu'en 

 vertu de cpr — r, on a e'galement (p^r ~ (p (cpr) ~ (pr zz: r, (p^rz^r, et ge'né- 



d-rr,"r 



raleraent, (p"r ~ r, la première de nos expressions se re'duirait à — (jpr)"^ 

 simplement, et les suivantes deviendraient au-moins beaucoup plus simples qu'elles 

 ne le sont pour x — 0. A la vérité la supposition de — r ne pourra guère 

 conduire au développement exigé suivant les puissantes de x, mais elle en pourra 

 produire un, suivant les puissances de la différence x — r, parce qu'on à géné- 

 ralement: 



/x = /r + /r.(r-r) +Ç. (^-r)'+Q • {x^ry-^.- (.-r)']) 



et le passage de celui-ci au premier pourra dès-lors s'effectuer par d'autres moyens, 

 à'- moins qu'on ne veuille faire valoir le développement suivant x — r comme la 



