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par les constantes 9V, ^T, etc. de'pentlantes uniquement de la nature de 

 la fonction donne'e (px. 



Tel est donc le premier moyen qui se pre'senle pour effectuer le développe- 

 ment d'une puissance fonctionale suivant les puissances de sa variable, ou plutôt 

 suivant celles de la différence entre cette variable et la quantité' constante r, tire'e 

 de l'e'quation (p"x n: x. Mais il existe encore un autre moyen, qui non seule- 

 ment a, sur celui-là, l'avantage de mieux pre'ciser la loi de la formation des coëffi- 

 ciens cherche's, mais qui, en même tems, se prête facilement à la solution du se- 

 cond problème, que nous nous sommes proposé, de celui du développement des 

 puissances fonctionales suivant les puissances de leurs exposans. Le voici. 



Les diffe'rentiations de la fonction (p"x, telles que nous les avons entame'es 

 ci-dessus, continuées jusqu'à un certain ordre des différentielles, conduisent, après 

 y avoir fait r ~ r, à une hypothèse relative à la forme que doivent avoir les 

 coëfficiens Supposant, en vertu de celte hypothèse: 



' c, = i,9,V" + i,9)V- + A9,y"-f + AyV'^" 0) 



k k k k 



on A^, A^y Aj^ désignent des quantités absolument indépendantes de la 



variable x et de l'exposant on pourra former: 

 1) Les k équations: 



• i -fA +i, 4- +4 =:°fA=0(si^>l) . 



. . A^ 9) r-f A^(p'r -\-A,(fr'-^ -|- A^ff^ziicj, — — 



