Nouvelles recherches sur la ihéorie des puissances fonctionaks. 829 



très-reniarquaMe fou'î plnsi.mrs rapports. La demonslralionj que j'en al trouvée 

 jusqu'ici, nio paraissant encore manquer de l'ele'j^ancc cl de la sin.plieite'j dont je 

 la crois susceptible, je la supprime pour le moment, me re'servant de la faire entrer 

 dans une suite prochaine de recherches analogues à celles dont je me suis occupé 

 ici. Maintenant, passons aux premières conséquences qui déroulent (ie celte nou- 

 velle pro|)osition. 



Puisqu'en vertu du théorème polynoraial : 



^ [irf^. (^.)" w (A)" (^-rr^*] 



I ' 3 



n -f- 2a -f- 3a -|- ■ • • ■ — ^« -(- 



I 2 z 



n -f- <i -f- a -|- — z^m 

 on trouve par notre proposition (24) : 



m \ 1 z T-in-4-i -1 



(25) J^(J^(x-r)-j-J^(,-ry-^JX^-ry^ - r^^^'i[ ^m(r-rr-^'] 



m "i— f-i ni~i-2 



Or, l'équation (1 1 pouvant, moyennant la formule (1) , être mise sous cette 

 forme : 



(26) 9"^=:r+J.yV"(.r-;)+ [J^ç^V'+J^f^V'"] (x-r)'+ p.c//"+J,9)V^" 



(x-ry + + 9^" + X 



et puis, sous celle-ci: 



(21)cp''x-ri (i/x-r)-fi.(x-r)»-f i.(^-/-)'+ ... -l-i,(^--r)*+. 



+^(A(^-0'-f \-X(s-ry-^ ■ ...) r/r- 



-\-\j^(x-.ry-j-.... +A(^_r)^-4- ....) r/r- 



4- 



il suit de (25) que : 



Jfem. VJ. Str. se. mo//i., p/iys. et nul. Tom. III. j'* part. 42 



