Sur un cas singulier de l'équilibre des fluides incompressibles. 335 



suite d'un déplacement qu'on aurait donne', ou seulement imagine', dans le liquide. 

 Le point (x, z) après le de'placeraent , possible ou non, répondrait aux coor- 

 données x-\-à'x, y-\-dy, z-\-ôz, que, pour abréger, nous repre'senlerons respec- 

 tivement par Y, Z. Tout autre point du volume f dxdydz, se de'plaçant sem- 

 blablement, le volume entier prendrait une autre position dans l'espace, et ses di- 

 vers points seraient définis par les coordonnées A , Y, Z qu'on pourra regarder 

 comme fondions entièrement arbitraires de x^y^z. Le volume fdxdydz^ dans sa 

 nouvelle position, deviendrait J dXdYdZ^ et par conséquent subirait la variation 



fdXdYdZ ~ fdxdydz 



que nous allons développer. 



Pour mieux comparer enlr'elles les intégrales JdXdYdZ^ J dxdydz, il faut les 

 ramener aux mêmes variables et aux mêmes limites, ce qu'on obtiendra en transfor- 

 mant, par les Ibrmules connues, les coordonnées X^Y^Z en x,y,z. Nous avons 

 pour cet objet 



dX dY dZ C^^^ '^^ "'^ '^^ '^^ '^"^ ''^^ '^^ '^^ 



\dx dy dz. dx dz dy dy o; dx tly dx dz 



dX dF dZ dX dV dX\ , , 



' dz dx dy dz dy dx j ^ 



et, par conséquent, la variation du volume deviendra 



^rdXdVdz dXdVdz dXàVdz dX dV dz dX dV dz dx dv dz ^1^^^ 



\_dx dy dz dx dz dy ' dy dz dx dy dx dt dz dx dy dz dy i/jc J ' 



en substituant pour X, Y,Z leurs v.ilcurs x -\- ô^, y -\- (5V, z-\- dz et en ne con- 

 servant, conformément h l'esprit du calcul différentiel , que les infiniment petits de 

 l'ordre le moins élevé, on trouve, pour la variation du volume, 



«C^' + f + 7?)'^-*^- ^ 

 or, si l'on ne considère que le déplacement possible, le volume ne peut qu augmenter ou 

 rester le même; donc la variation précédente doit être zéro ou positive pour tous les 

 déplacements possibles, et elle doit l'êlre quel que soit le volume que l'on considère, 



c'est-à-dire quelles que soient les limites de l'intégrale S (^-^ -\- dxdydz, 



• !• . • . , •. d^x , d!ir . dSz , 



ce qui ne peut avoir heu, a moins qu on n ait — -f -\~ ~ fZ.o pour tous les 



