SUR 



LA TRANSFORMATION DES VARIABLES 



DANS 



LES INTÉGRALES MULTIPLES; 



PAR 



M. OSTROGRÂDSKY. 



(Lu le 13 août 1856.) 



Il arrive fréquemment que, pour faciliter la recherche d'une inte'grale multiple, 

 l'on remplace les variables, par rapport auxquelles les inte'grations doivent s'effec- 

 tuer, par d'autres quantités qui sont fonctions des premières. Le principe de ce 

 changement des variables est connu. On le doit à Euler et à Lagrange ; mais ces 

 grands ge'omètres ne l'ont pas, ce me semble, exposé avec toute la clarté désirable. 



Je vais d'abord faire voir comment l'interprétation, à mon avis la plus natu- 

 relle des paroles d'Euler et de Lagrange *), peut conduire à un résultat complète- 

 ment erroné; puis j'ajouterai ce qui manque à l'exposition de ces deux grands 

 géomètres pour la mettre à l'abri de fausses interprétations. 



§ 1. Ne considérons qu'une intégrale double fVdxdy^ V étant une fonction de 

 X et de y. Supposons que x et j soient des coordonnées rectangles d'un point, que 

 l'intégrale JV dydx s'étend à tous les points de l'intérieur de la figure ABCD (fig. i), 

 et que l'on veuille remplacer les coordonnées rectangles x et ^ par les coordonnées 



*) Voyez Mémoires de l'académie de Berlin, 1773. 



