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polaires r et /; en sorte que x zz.t cos. p, y -^lt sin. p. Pour cela, en substi- 

 tuant dans V ^ à la place de x et de y, leurs valeurs pre'ce'dentes, il ne restera qu'à 

 exprimer le parallélogramme différentiel dxdy en r et;?. Supposons que M M' M" M" 

 repre'sente dxdy; pour avoir l'aire dxdy, il faut trouver dx-^MM et dy^MM". 

 Or, pour passer du point M au point M\ il faut, sans varier/, changer x en x-\-dx, 

 ce qui donnera 



dx ^ ^/r COS. p — r sin. pdp 

 o zn. dr sin. ;p -j- r cos. pdp 



dr rdp 



d'où dx 



COS. ^ sin./> 



Pour passer du point M à M"j il faut au contraire laisser x constant et changer 

 y en / 4" ^* ^^^^ étant constant , il ne s'en suit pas que la valeur de dx, 

 qu'on vient de trouver, soit nulle ; car chaque passage du point il/ à un point voi- 

 sin exige d'autres accroissements de x et de y ; et ce sera un autre dx qu'on doit 

 e'galer à ze'ro, en sorte, qu'en de'signant par dp et dr les différentielles relatives au 

 passage de il/ a M'\ on aura 



0 zzz dr cos. p — r sin. p$p 

 dy àr sin. p -\- r cos. pdp 



1. > j 5r rSp 



d OU — — 



sin. p COS. p 



et par suite 



, j (/rjr ^_ rdrSp rSrdp r^dpSp 



COS./? sin. /J cos.^y» sin.^/? cos./>sIn.^ 



aucune de ces quatre valeurs n'est celle que l'on connaît. 



§ 2. Considérons de nouveau l'intégrale fVdydx dont les limites sont ar- 

 bitrairement données. L'intégration, d'abord par rapport à y, puis par rapport à r, 

 présentant des difficultés, on veut changer les variables x t\ y en d'autres, u et 

 qui sont fonctions des premières, et l'on trouve commode d'effectuer les intégra- 

 tions, relatives aux nouvelles variables, d'abord par rapport à puis par rapport à u. 



