Sur la transformation des variables dans les intégrales multiples. 4o3 



Comme l'intégrale fVdydx est la somme de tous les e'Ie'ments différentiels, 

 pour la trouver il n'y a qu'a ajouter tous les Vdydx qui répondent à la surface 

 d'une courbe ABCDEF (fig. 2) dont le contour a pour coordonne'es les valeurs 

 limites de x et y. L'ordre, dans lequel on ajoutera les e'Ie'ments Vdydx, est 

 évidemment indifférent pour le résultat définitif. Mais, en le choisissant conve- 

 nablement, on simplifiera beaucoup l'intégration. C'est dans les différentes manières 

 d'ajouter les éléments différentiels, que consiste toute la théorie du changement des 

 variables dans les intégrales multiples. Si, par exemple, on prenait l'intégrale 

 f Vdydx, d'abord par rapport à et puis par rapporî à x, cela reviendrait à 

 ajouter d'abord tous les éléments Vdydx qui sont relatifs à la bande AD^ parallèle 

 à l'axe des y et ayant dx pour largeur, et puis ajouter ce qui relatif à toutes le? 

 bandes semblables à AD et que l'on peut tracer dans l'intérieur de ABCDEF. 

 Mais la même somme f Vdydx peut s'obtenir en ajoutant les éléments Vdydx 

 dans tout autre ordre, par exemple, d'abord tout ceux qui répondent à une bandf 

 courbe BCEF infiniment étroite, puis on continuera l'addition des éléments par 

 bandes semblables à BCEF, jusqu'à ce qu'on les aura épuisées. 



Pievenons à la transformation que nous avons en vue. Puisque on veut inté- 

 grer d'abord par rapport a p et puis par rapport à a, on veut évidemment ajou- 

 ter d'abord tous les éléments qui répondent à une même valeur de «, et puis con- 

 tinuer l'addition par systèmes d'éléments, chaque système répondant à une même 

 valeur de «; mais les valeurs de cette quantité, pour les différents systèmes, sont 

 différentes. Comme x et j sont fonctions de u et de r, en considérant tous les 

 X t\. y qui se rapportent à une même valeur de m, on parcourra une courbe que 

 je représente par BF. — x, y e\. v seront différents pour les différents points de 

 cette courbe, mais u reste le même. Si l'on fait varier u infiniment peu, en le 

 faisant croître de du^ et puis si l'on cherche tous les points qui répondent à une 

 même valeur u-\-du de «, on trouvera une courbe infiniment peu différente 

 de BF. Aux différents points de cette courbe répondront les différentes valeurs d^ 

 JT, y et de c. 



