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Noas allons sommer d'abord tous les e'iemenls qui se rapportent à la surface 

 BCEF; pour cela, divisons la en éléments comme il suit. Prenons un point M, 

 re'pondant à une certaine valeur de r, sur la courbe BF, et un point M\ ré- 

 pondant à la même valeur de t?, sur la courbe CE\ puis marquons deux autres 

 points M" et M" qui re'pondcnt tous deux à une même valeur v -\- dv v, et 

 dont le premier se trouve sur la courbe BF, et le second sur la courbe CE. 

 î^ous pouvons conside'rer le quadrilatère M M M'" M" comme éle'ment de la sur- 

 face ABCDEF. Il n'est pas ne'cessaire qu'il soit e'gal à dydx] sa valeur n'entre pour 

 rien dans le résultat du calcul. 



En désignant MM' M'" M" par w, on peut remplacer Vdydx par V w, et nous 

 pouvons considérer V comme fonction de et de « qui résulte de la substitution 

 de ces variables à la place de x et y. Nous aurons 



fVdydx — /Foi. 



La dernière intégrale doit être prise d'abord relativement à toutes les valeurs de ç 

 qui répondent à la courbe BF, et puis relativement à toutes les différentes valeurs 

 que II peut recevoir dans l'intérieur de la figure ABCDEF. 



Il nous reste à trouver la snrface différentielle w, ce qui est très facile; car 

 les quatre côtes de celte surface, répondant aux coordonnées x,y\ -2^4"^ 



y + ^£du, x-{-'£dr, y-\-'£d., T^'£-^du-^'£d,,y-^'£du-{-±dç 

 on en conclut que w est un parallélogramme, donc, en vertu d'un théorème de 

 la géométrie élémentaire, on aura 



. /f/x dr dx dy\ ^ ^ 

 ~~ \da di> d^ du) 



i désignant it. 1, afin que w soit toujours positif. Nous aurons 

 résultat connu. 



Voici l'énoncé du théorème de géométrie que nous avons cité: Désignant par 

 ^^y'i ^ P) y -]r9'i ^~\-p\ y-\-<}'> les coordonnées de trois quelconques des 



