Sur la transformation des variables dans les intégrales multiples. 4o5 



quatre angles d'un parallélogramme, rapporte'es à son plan, l'aire du paralle'logramme 

 sera i {pq — ÇP) t quantité' doit avoir le signe qui rend i{pq' — qp) 



positif. 



§ 3. Il serait facile d'e'tendre les conside'ralions précédentes aux intégrales triples 

 et de retrouver les résultats connus. Mais ces mêmes considérations, h cause du 

 théorème de géométrie, que nous y avons mêlé, ne s'appliqueront pas à la trans- 

 formation des variables dans les intégrales relatives à plus de trois quantités' par 

 celte raison et pour rendre compte des procédés généralement employés, nous al- 

 lons transformer l'intégrale f Vdydx d'une autre manière. 



Comme il s'agit d'abord de prendre la somme de tous les Vdydx qui ré- 

 pondent à l'intérieur de la bande BCEF, je prendrai cette somme par le prin- 

 cipe ordinaire, en intégrant par rapport à y depuis y — PM jusqu'à y zzz. PN, 

 et puis par rapport à x depuis x — OQ jusqu'à a: ~ OR. Or, intégrer par rap- 

 port à j, entre les limites ci-dessus, revient à multiplier par MN ~ dy^ en sorte 

 qu'il ne restera qu'à intégrer par rapport à jr; or on a MN —dy ziz. -£^du -\' -^^di' 

 et, en même temps, on doit faire 0 du -\-'^ di\ car il s'agit de passer du 



/dx dv dx dy\ , 



TiT • 7»r TV' ^ /!• • 7 7 V*" 



point /'/ au point iV. Dou, en éliminant ce, on trouve ay iz: -j^ • 



Tv 



Ainsi le résultat de l'intégration par rapport à y sera 



V(^^'^-'^P.dudv 



du du du J 



du 

 d^ 



Maintenant il faut intégrer par rapport à x\ mais il convient mieux d'introduire 

 à la place de x, et prendre l'intégrale depuis r qui répond au point F, jusqu'à 

 V relatif au point B. Or comme dx ~~ Je, car u re .te invariable pour tous 

 les points de la courbe FB, nous aurons 



frCt±.^'±±\dvdu 



J \dv du du du J 

 aiem. VI. Ser. Se. math., fihys. tl nai. loin. III. !•■« part. 52 



