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pour la somme des éléments relatifs à la bande BCEF, 11 ne restera qu'à in- 

 tégrer la somme précédente relativement à m et entre les limites convenables, pour 

 ajouter tous les éléments relatifs à la surface entière de ^BCDEF. 



La transformation qui précède peut être facilement affranchie des considérations 

 de courbes, et étendue à un nombre quelconque d'intégrales. Au lieu de mener 

 les lignes BF et CE^ nous aurions pu dire qu'il fallait trouver la somme des élé- 

 ments relatifs aux valeurs «le u comprises enlre u et u-\-du', on commencera à 

 intégrer par rapport à une des variables x ou y, par exemple par rapport à j, 

 laissant x constant; on prendra l'intégrale entre les limites y y -\- dy ^ m\ 

 y dy est relatli à la valeur extrême de u, c'est-à-dire u-\-du, mais, comme 



X est constant, on aura ~ du -\-— di' ~ O, en sorte que dv est infiniment petit. 



ilu ' dv ' ^ 



dx dy dy dx \ ^ 



J '^y 1 \ 'h j \dt' du dy du J . iv ,r' > 



onc av ~ — «M + -— c>' rz etc. Aous avons preiere 



•' du ' t/k" dx ^ 



d'employer la considération géométrique pour plus de clarté, car nous avons de- 

 stiné celte dissertation aux personnes peu versées dans l'analyse mathématique. 



§ 4. Supposons qu'on demande ce que devient l'intégrale /ç) j) 

 quand on y remplace respectivement x et y par X et JT, X t\.Y étant fonctions 

 de X et J. Il est visible que ^) (x,y) devient cp (X, J^); et devienne ce qu'on vou- 

 dra dydXf je puis toujours le remplacer par dX dY; donc notre intégrale sera 

 remplacée par J (p(X,¥)dydX, pourvu que l'intégration relativement à et 

 soit faite entre les limites convenables. Mais, pour se débarasser de la recherche de 

 ces limites, il n'y a qu'à transformer les variables ^ et en :r et y, ce qui re- 

 vient à remplacer dXdY par ^ — ^ dxdy en sorte que l'intégrale 

 J H> (^J /) d^dyf le changement de x en ^ et de / en Y, deviendra 



les limites de x et y sont les mêmes, que dans / cp (x, /) dxdy. 



