Sur la transformation des variables dans les intégrales multiples. 407 



On peut tirer de la solution précédente beaucoup de résultats relativement à 

 l'inte'gralion des fonctions à deux variables; elle renfernae aussi, comme cas par- 

 ticulier, la recherche de la variation d'une inte'grale double. Pour ce dernier objet, 

 il n'y a qu'à remplacer X et Y, respectivement par x -f- rTx, y ^ dy et retrancher 

 Jff {x-^y) dxdy du re'sullat: et si (p(x,y) contenait une variable 2, regardée comme 

 fonction de x, r, et les différences de cette variable, il faudrait 



remplacer, dans la fonction (p(A^Y)^ z par Z et t-i"' P^r ^» ;^->" 



dr dz dv dz dx dz dx dz 



» « « • , 



ou par 



dy dx dx dy d.T dy dy d. 



dA dr dX dV dX dV dX dV ' 



dx dy dy dx dd dy dy dx 



Quant à l'élément dxdy 11 est Inutile de chercher ce qu'il devient quand j: et y 

 sont remplacées par A et F, car je puis toujours considérer dXdY comme élément 

 différentiel après le changement; mais si l'on voulait poursuivre dxdy pendant 

 que X et y changent et deviennent X et Y, on trouverait qu'il se réduirait à 



/dx dr dX dl'\ , , 



Krxify--d^Tr)^''dy 



