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d'ouvrages sur la Géométrie on trouve que les parallèles sont deux droites, 

 dont la distance est partout la même. Bezout, en les définissant comme 

 deux droites tracées sur un même plan, et qui ne peuvent jamais se rencon- 

 trer, à quelque distance qu'on les imagine prolongées, conclut de cette défi- 

 nition, sans aucune preuve, la propriété caractéristique de leur équidistance. 

 II est inutile de s'arrêter sur le défaut de la première définition et sur ce 

 que la conséquence déduite par Bezout a de précaire. 



Legendre, et encore avant lui Bertrand de Genève, sont les seuls 

 auteurs qui aient traité la théorie des parallèles avec toute l'attention qu'elle 

 exigeait. Leurs démonstrations ont passé, depuis, dans la plupart des traités, 

 de Géométrie. Mais, malgré tout le respect que commande l'autorité de 

 ces deux uoms, et surtout celui du célèbre géomètre français, je me ha- 

 sarderai d'exposer ici quelques remarcjues qui tendraient à faire voir l'in- 

 suffisance de leurs démonstrations. 



Nous commencerons par examiner les méthodes de Bertrand, et nous 

 passerons ensuite à celles de Legendre, contenues dans son Mémoire: 

 Réflexions sur différentes manières de démontrer la théorie des parallèles. *) 



1) Bertrand, en se fondant sur la considération des espaces infinis, 

 démontre que lorsqu'une droite BD (fig. 1) est perpendiculaire à une autre 

 JB, et qu'une troisième droite AE fait avec AB un angle aigu, cette ob- 

 lique AE, suffisamment prolongée, devra rencontrer la perpendiculaire BD. 

 Pour le prouver, il répète l'angle CAE autant qu'il est nécessaire pour 

 qu'un multiple de cet angle soit égal ou supérieur à un angle droit. Ainsi, 

 dans la figure 1, le quadruple de cet angle, c. à. d. l'angle CAE sur- 

 passe l'angle droit CAF. Faisant ensuite BB' = B' B" — B" B'" — AB, 

 et élevant les perpendiculaires B D , B" D" , B"D"' , il obtient quatre biangles » 

 égaux CABD, DBB'D', D'B'B'D" et D"B"B"'D"'. Gela posé, le raisonne- 



*) Mémoires de l'Académie Royale sdes Sciences de l'Institut de France, Tome XII, 1853. 



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