Considérations sur la théorie des parallèles. 89 



ment de Bertrand revient à ce qui suit: pour que la droite JE ne puisse 

 jamais rencontrer la perpendiculaire BD, il faut que l'espace illimité de 

 l'angle CAE soit inférieur à l'espace également illimité du biangle CABD; 

 de là il faudrait tirer la conclusion que l'espace CAE'", quadruple de l'angle 

 CAE, et par hypothèse supérieur à un angle droite est inférieur à l'espace 

 indéfini CAB " D " , quadruple du ])iangle CABD, et évidemment enclavé 

 dans CAE " . De l'absurdité de cette dernièi'e conséquence il faut conclure 

 que l'espace de l'angle CAE doit être supérieur à l'espace du biangle EABDj 

 et que par conséquent le côté AE de cet angle doit finir par sortir du 

 biangle, ou, en d'autres termes, que l'oblique JE doit couper quelque 

 part la perpcndiciUaire BD. 



Celte démonstration qui a paru ne rien laisser à désirer sous le rap- 

 port de la rigueur, nous paraît cependant donner prise à une objection. 

 Et en effet, en dernière analyse, elle est fondée sur ce principe, 

 qu'un espace indéfini, enclave' dans un autre, également infini, est p/us petit 

 que le second. Ce principe est certainement hors de doute quand il s'agit 

 d'espaces limités; mais il nous semble que le même axiome est loin de 

 porter ce caractère d'évidence qu'on lui suppose généralement, lorsqu'il est 

 question d'espaces infinis. Pour le faire voir, observons d'abord qu'en ad- 

 mettant cette proposition, on pourra réduire la démonstration de Bertrand 

 au plus grand degré de simplicité, et l'appliquer directement au poslulatiim 

 d'Euclide de la manière suivante: Soient deux droites AC et BD (tig. 2), 

 coupées par une troisième AB de manière que la somme des deux angles 

 intérieurs CAB et ABD soit inférieure à deux angles droits. Il s'agit de 

 faire voir que les deux droites AC et BD, suffisamment prolongées, devront 

 se rencontrer. Or, puisque la somme des deux angles adjacents ABD et 

 et DBE est égale à deux droits, l'angle DBE sera plus grand que C^B; 

 par conséquent l'espace infini CAE sera plus petit que l'espace infini DBE. 

 De là il suit que l'angle DBE ne pourra pas êti'e contenu dans l'angle CAE, 



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