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BOUNIAKOWSKY 



et que par conséquent la ligne AC, suffisamment prolongée, devra couper 

 la droite BD. 



Toute naturelle que paraisse cette conséquence , néanmoins elle donne 

 lieu à la difficulté suivante: soit AC (fig. 3) une courbe qui ait pour 

 asymptote la droite BD, perpendiculaire sur AE. D'après cette condition 

 il semblerait évident que l'espace indéfini CAE est plus grand que DBEy 

 c'est-à-dire supérieur à un angle droit. D'un autre côté, si l'on élève la 

 perpendiculaire AF sur AE on conclura, avec autant de raison qu'aupara- 

 vant, que le même espace CAE, enclavé dans l'angle droit FAE, est infé- 

 rieur à ce dernier. On arrive donc de cette manière à deux conclusions 

 qui se contredisent mutuellement. Par cette raison nous ne croyons pas 

 qu'un tel mode de démonstration puisse être admis dans une théorie toute 

 élémentaire, et surtout destinée pour des commençants. 



Nous n'ignorons pas qu'on pourra nous objecter que la contradiction 

 à laquelle nous sommes parvenus n'est qu'apparente, et qu'elle provient 

 de ce que le biangle FABD, comme infiniment grand du premier ordre 

 seulement, peut être négligé vis-à-vis de l'espace indéfini de l'angle droit 

 DBE ou FAE, qui est un infiniment grand du second ordre. Mais, je le 

 donne à juger, notre objection ne frappera-t-elle par davantage l'esprit des 

 commençants, qu'une explication toute abstraite, fondée sur la considération 

 des quantités infiniment grandes de différents degrés? 



Nous ferons encore une objection contre la démonstration de Ber- 

 trand. En admettant même l'exactitude de la considération des espaces 

 infinis, et en accordant par conséquent que l'oblique AE (fig. 1), pour une 

 valeur finie de l'angle CAE , doive aller rencontrer quelque part la per- 

 pendiculaire JBi?, nous demanderons quel sera le point d'intersection? Gomme 

 la méthode de Bertrand ne nous donne aucune lumière à cet égard, on 

 serait en droit d'objecter que ce point d'intersection pourrait être tellement 

 éloigné du pied de la perpendiculaire BD, ou de la portion de cette droite 



