Considérations sur la théorie des parallèles. 91 



que l'on considère, que ce point serait pour nous entièrement illusoire. 

 Il nous semble que, pour bien établir la proposition dont il s'agit, il est 

 indispensable de donner à priori des limites assez resserrées de la longueur 

 MB, c'est-à-dire de la distance du point d'intersection M au point B, pied 

 de la perpendiculaire BD. 



2) La démonstration que propose Bertrand pour le tbcorème sur la 

 somme des trois angles d'un triangle, paraît plus satisfaisante. En effet, 

 les commençants accorderont plus volontiers qu'une quantité finie, la sur- 

 face du triangle,, puisse être négligée comparativement à l'espace infini, 

 mesuré par deux angles droits, c. à. d. vis-à-vis d'une quantité infiniment 

 grande du second ordre. Cependant il est possible de faire contre cette 

 démonstration à-peu-près les mêmes objections que contre !a précédente. 

 Pour le faire voir, réduisons d'abord le raisonnement de Bertrand à ce 

 qu'il a de plus simple, en nous y prenant de la manière suivante: soit 

 donné le triangle ABC (fig. h); prolongeons deux de ses côtés, ÂC et AB 

 par exemple, en AG et AF, et le troisième BC en BB et CE. li angle 

 en A du triangle sera mesuré par l'espace indéfini FAG , l'angle en B par 

 l'espace DBF, et l'angle en C par l'espace indéfini ECG; donc, la somme 

 des trois angles À, B et C du triangle sera exprimée par l'espace indéfini 

 DBACE, c'est-à-dire par deux angles dzoits, plus l'aire a du triangle 

 donné ABC. Or, comme cette aire est une quantité finie, elle devra être 

 négligée vis-à-vis de la quantité infiniment grande du second ordre, ex- 

 primée par deux angles droits. Donc la somme des trois angles du triangle 

 est égale à deux angles droits. D'un autre côté, pour avoir la somme 

 A B C des trois angles du triangle, nous pouvons aussi raisonner de 

 la manière suivante: menons la ligne AR d'une manière quelconque dans 

 l'intérieur du triangle ABC, et prenons sur cette ligne im point iV, aussi 

 éloigné qu'on le voudra du sommet A. Par ce point N menons les deux 

 droites Fsl et NK de façon que l'angle IJSH soit égal à l'angle FAN, et 



