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l'angle KNH égal à l'angle GAN\ l'angle KISI sera visiblement égal k l'angle 

 A du triangle donné. Donc la somme A'\-B -\- C des trois angles sera 

 mesurée par l'ensemble des espaces indéfinis DBF, ECG et KNI, évidemment 

 inférieur à deux angles droits, si l'on conjpte ceux-ci au dessous de la 

 ligne DE. Cette nouvelle valeur de la somme des trois angles est infé- 

 rieure à celle que nous avons trouvée plus haut de tout l'espace des deux 

 biangles FA NI et GANK, qui peuvent être rendus aussi grands qu'on le 

 voudra en éloignant le point N du sommet A. Nous voilà donc de nou- 

 veau arrivés à une contradiction, puisque l'on a vu d'abord que la somme 

 cherchée est supérieure à deux angles droits, comptés au dessous de la 

 ligne DE, et qu'on fait voir ensuite que cette même somme est inférieure 

 à ces deux angles droits, comptés à partir de la même droite DE. De 

 plus, l'excès des deux angles droits sur la somme A -\- B C est lui même 

 représenté par un espace infini. Certainement cette contradiction s'explique 

 par la considération des infiniments grands d'ordres différents; mais il n'en 

 est pas moins vrai que de telles explications sont bien loin d'être de nature 

 à entrer dans les éléments de Géométrie. Nous ferons encore observer à 

 ce sujet, qu'il ne nous semble pas facile de faire concevoir aux commen- 

 çants, que, quoique l'espace contenu dans les deux biangles FBMNT et 

 GCMNK puisse être augmenté à volonté en éloignant le point TV' du sommet 

 A, néanmoins cet espace ne diminuera en rien l'aire infinie mésurée par 

 deux angles droits, comptés au-dessous de la ligne DE. 



3) Passons actuellement aux recherches principales de Le gendre sur 

 le même sujet. Nous commencerons par la démonstration qui se trouve 

 dans la 12""^ édition de sa Géométrie, et que l'auteur regarde comme de- 

 vant, par son exactitude, faire disparaître des éléments l'imperfection à 

 lequelle la théorie des parallèles a été sujette jusqu'alors. On sait que la 

 démonstration dont nous parlons se rapporte au théorème sur la somme 

 4es trois angles d'un triangle, et consiste dans la transformation successive 



