Considéraiions sur la théorie des parallèles. 93 



d'un triangle quelconque en d'autres, dont deux angles diminuant sans 

 cesse, peuvent être rendus plus petits que tout angle donné. La construc- 

 tion toute élémentaire, proposée par Legendre pour arriver à cette trans- 

 formation, est très ingénieuse, et ne laisse absolument rien à désirer sous 

 le rapport de la rigueur. Mais, osons le dire, la conséquence qu'il en dé- 

 duit, ne nous paraît pas à beaucoup près avoir le même degré de rigueur 

 et d'évidence. Nous allons tacher de motiver cette assertion par quelques 

 arguments. 



Et d'abord, puisqu'il ne s'agit pas de la construction des triangles suc- 

 cessifs, construction qui est à l'abri de toute objection, nous allons de suite 

 passer à l'examen de la conséquence qu'en tire Legendre. Il démontre 

 rigoureusement qu'un triangle quelconque ABC (fig. 5) peut être transformé 

 en un autre abc (fig. 6) tel, que la somme des angles a -j- 6 -f- c est égale 

 à la somme A -\- B -\- C des angles du triangle primitif, avec la condition 

 que les angles a qI b sont aussi petits qu'on le voudra. La limite de leur 



A A 



petitesse est donnée par les inégalités a < — et ^ < , n étant un 



entier aussi grand qu'on le voudra. Gela posé, pour démontrer que la 

 somme o-|-Z>-)-c, et par conséquent aussi A -\-B C , est égale à devix 

 angles droits, Legendre raisonne de la manière suivante: 



«Mais si l'on considère un triangle abc (fig. 7) dont les deux angles 

 a et b, sont très-petils, tant que ces angles ne sont pas nuls, le troisième 

 angle acb devra être joint à l'angle extérieur bcd, pour que la somme des 

 deux fasse deux angles droits; mais si l'on suppose que les deux angles 

 û et A diminuent de plus en plus, de manière que les côtés ac et bc tour- 

 nent autour de leurs sommets a et b, pour se rapprocher continuellement du 

 côté immobile ab, alors on voit que, lorsque ces angles deviendront tout- 

 à-fait nuls, les deux droites acd et bç se confondront avec la droite oè; 

 en même temps l'angle extérieur bcd deviendra nul, et par conséquent 



