94 BOVNIAKOWSKY 



l'angle acb, dont les côtés ac, cb se placeront bout à bout sur la ligne droite 

 ab, sera égal à deux angles droits.» *) 



Dans cette citation nous avons souligné les passages qui donnent lieu 

 à des objections. 



Pour bien entrer dans l'état de la question ^ observons d'abord que la 

 construction proposée par Legendre fait voir avec évidence que la base 

 ab, ainsi que les deux autres côtés du triangle abc (fig 7) deviennent de 

 plus en plus grands, comparativement aux côtés respectifs du triangle pri- 

 mitif ABC, à mesure que les angles a et b diminuent. Quant à la loi 

 d'augmentation de cette base ab, comparée à la base constante AB, lorsque 

 l'on passe d'un triangle transformé à un autre, la construction ne peut 

 nous donner aucune lumière k cet égard. 



Gela posé, je dis en premier lieu, qu'en abaissant du sommet c (fig. 8) 

 la perpendiculaire ck sur ab, on ne pourra rien conclure sur la longueur 

 de cette perpendicvdaire pour la série des angles a et b que l'on conçoit 

 décroissante. En effet, supposons que du triangle abc (fig 8) on ait passé, 

 par la construction de Legendre, au triangle transformé suivant, nommé- 

 ment au triangle ab'c\ et qu'on ait ensuite abaissé la perpendiculaire ck\ 

 Rien ne prouve que la perpendiculaire ck' soit plus petite que ck, ou, en 

 d autres termes, que le sommet c soit plus rapproché de la base ab' que c 

 ne l'est de ab. Si I on accordait même que c k' soit plus petit que ck, 

 n'aurait-on pas encore le droit d'objecter que les longueurs ck, ck', c k", 

 e'^k'" . . . . provenant des triangles successifs, pourraient converger vers 

 une limite finie quelconque, tant que les angles a et b ne sont pas rigou- 

 reusement nuls. 11 ne nous semble pas que l'on puisse répondre à ces 

 objections. Ainsi, le premier passage souligné: les côtés ac et bc tournent 

 autour de leurs sommets a et b pour se rapprocher continuellement du côté 



I *) Mémoire de Legendre cité plus haut, pag. 388. 



