Considérations sur la théorie des parallèles, 95 



immobile ah, ne présente pas, j'ose le dire, ni la clarté ni la rigueur né- 

 cessaires. Et en effet, pour que les côtés oc et hc puissent être censés 

 tourner autour de leurs sommets respectifs a et b, il faudrait pour cela 

 que la ligne ah restât invariable, ou, au moins, qu'elle restât finie, ce qu'on 

 ne saurait affirmer, puisque cette base ah augmente de plus en plus à 

 mesure que les angles a et Z> diminuent. 



J'ajoute de plus que Legendre admet gratuitement que, puisque les 

 angles a et h diminuent à volonté, on peut les supposer tout-à-fait nuls, 

 et faire coïncider les côtés ac et hc avec la base ah, en conséquence de quoi 

 l'angle ocè deviendrait égal à deux angles droits. En efFet, de cette ma- 

 nière on détruirait entièrement le triangle abc, et on le réduirait à une 

 ligne droite. Puisque le point de la question est de prouver que la somme 

 des trois angles o -|- è -j- c est égale à deux droits, a et b diminuant à 

 volonté, il faudrait, pour raisonner rigoureusement, faire voir d'abord que 

 l'angle acb converge vers la limite représentée par deux angles droits, ou 

 bien, si l'on veut, que l'angle extérieur bcd converge vers zéro. Si l'on 

 démontrait cette proposition, on aurait le droit d'en conclure le théorème 

 sur la somme des trois angles d'un triangle. Or, nous allons faire voir 

 qu'admettre cette proposition sans démonstration, c'est admettre le postula- 

 tum d'Eue lide, et par suite toute la théorie des parallèles. 



En effet, soit abc (fig, 9) le triangle transformé, dans lequel les angles 

 a et b sont aussi petits qu'on le voudra, et ck la perpendiculaire abaissée 

 du sommet c sur la base ah. On a déjà observé plus haut qu'on ne pou- 

 vait rien conclure sur la longueur de ck. Gela posé, je dis d'abord, qu'en 

 menant ce perpendiculairement sur cA", cette perpendiculaire ce tombera 

 dans l'intérieur de l'angle bcd, ce qui est évident puisque chacun des deux 

 angles hck et ack est aigu. Or, puisque Legendre suppose que l'angle 

 extérieur bcd décroît en même temps que a et h, cela revient à dire que 

 l'angle hce converge lui même vers zéro. Si l'on admet cette supposition, 



