Considérations sur la théorie des parallèles. 97 



Cette inexactitude porte sur ce que Legendre admet qu'ayant deux lignes 

 parallèles AC et BD (fig. 11), c. à. d. deux lignes perpendiculaires à une 

 troisième droite AB, qu'il appelle base du biangle CABD, la perpendiculaire 

 MPi, élevée sur AC en M, rencontrera la parallèle BD. Or, toute évidente 

 que paraisse cette proposition au premier abord, il n'est pas cependant 

 possible de l'admettre. On peut consulter à cet égard ce que dit Fourier 

 dans l'Analyse des travaux de l'Académie Royale des Sciences pour l'année 

 1825, Partie mathématique, page XIV. Au reste, ce n'est pas cette suppo- 

 sition gratuite de Legendre qui poi'te atteinte à la démonstration; il est 

 très facile de se passer de cette proposition litigieuse en s'exprimant d'une 

 autre façon sans sortir de la rigueur géométrique. On verra facilement, 

 en consultant le mémoire de Legendre, que partout où il dit qu'en me- 

 nant la droite MN perpendiculaire à AC et terminée à sa parallèle BD, on 

 peut substituer la phrase: par un point N, pris sur BD, abaissant la per- 

 pendiculaire NM sur la droite AC. 



Nos remarques porteront sur la proposition relative à l' égalité' des 

 biangles (pages ^03, 4^05), égalité que Legendre fonde sur le principe de 

 la superposition (page kOi) et sur ce que l'on peut négliger une quantité 

 finie vis-à-vis d'une quantité infiniment grande. L*' principe de la super- 

 position, lorsqu'il est question de figures limitées, est, sans contredit, de 

 toute rigueur et évidence; mais il nous semble que, pour des espaces in- 

 finis, il est loin d'avoir le degré de clarté et même de rigueur que né- 

 cessite une démonstration, surtout élémentaire. Nous allons tâcher de le 

 faire voir en considérant précisément le cas de deux biangles droits. Et 

 d'abord, observons que rien ne restreint la longueur des côtés d'un biangle, 

 quelle que soit d'ailleurs sa base. Ainsi, les côtés AL et BM, AL et CN, 

 AL et DP, etc. doivent être supposés de même longueur indéfinie, quoi- 

 qu 'appartenant à des biangles inégaux, puisque le premier a pour base la 

 ligne AB, le second AC, le troisième AD; etc. Bien entendu d'ailleurs que 

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