Considérations sur la théorie des parallèles. 99 



Si 1 on nous objectait que la conséquence à laquelle nous sommes ar- 

 rivés, — l'inégalité en surface de deux biangles droits à bases égales, — 

 conséquence qui semble contredire les saines idées, prouve que notre con- 

 struction est inexacte, et que l'on doit nécessairement supposer la ligne JSM 

 égale à KM c.-à.-d. a AB (d'où suivrait l'égalité de l'angle MISD à un droit, 

 et par suite toute la théorie des parallèles), nous répondrions à cette ob- 

 jection de la manière suivante: cette contradiction qu'on croit entrevoir 

 n'est qu'apparente: en effet, tant qu'on ne sort pas de l'infini, voilà ce que 

 notre construction fait voir. Supposons que l'on prenne une longueur aussi 

 grande que l'on voudra, el qu'on la porte de Â en A' sur la direction AC, 

 et de B en B' sur BD , de manière à avoir AA — BB . Portons cette même 

 longueur AA' de M en M' et de K en K'. Après cela joignons B' avec 

 A', et K avec M\ Il est évident que la portion ABB A' du biangle droit 

 indéfini ABCD doit être égale à la portion MKK'M' du biangle MKLC. 

 Or, d'après notre construction, il n'existe rien de contradictoire dans cette 

 égalité: il s'en suit seulement que l'espace ABNB'EKMA est égal à A'EK'M', 

 ce qui ne présente aucun caractère d'impossibilité. Et comme d'ailleurs la 

 longueur A4' est aussi grande que l'on veut, la contradiction apparente 

 s'explique sans aucune difficulté. 



De ce que nous venons d'exposer on ne peut pas conclure que deux , 

 biangles droits, égaux en superficie, aient nécessairement des bases égales, 

 mais seulement que cette proposition ne présente rien de contradictoire. 

 De plus, cette même construction semble montrer que le principe de la 

 superposition, pour des espaces infinis, n'a pas le degré de précision né- 

 cessaire pour être employé dans une démonsti^ation élémentaire. Nous 

 allons tâcher d'appuyer cette assertion encore par une autre construction. 



Soit la figure indéfinie A' ABB (fig. Ik), les angles en ^ et B étant 

 obtus et égaux entr'eux; prenons une longueur arbitraire, et portons la de 

 A en C et de B en D; joignons C avec D, et marquons les points a et b 



