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de manière à avoir ab~AB et aC — bD. Des points o et è menons les 

 droites indéfinies aa et bb' de façon que les angles aab et abb' soient égaux 

 aux angles ^ et B de la figure primitive A'ABB'. La figure illimitée a'abb', 

 quoiqu'évidemment enclavée dans A'ABB', sera parfaitement égale à A'ABB', 

 et néanmoins sa superficie sera inférieure à la superficie de A'ABB' de 

 l'espace indéfini B'BAÀ'a'abb . On pourrait dire que cet espace B'BÂA'dabb' 

 n'est qu'un infiniment grand du premier ordre, qu'on peut négliger vis-à- 

 vis de l'espace A'ABB' qui est infiniment grand du second ordre. Cela est 

 vrai, mais peut-on prouver à priori cette assertion? Pour le faire voir, il 

 faudrait montrer que À' ABB' est un espace angulaire, et pour cela on de- 

 vrait recourir au postulatum d'Eue lide en faisant voir que les deux droites 

 indéfinies A' A et BB, prolongées vers la gauche, finiront par se couper. 

 Il est visible du reste que, tant qu'on se renfermera dans le fini, la figure \k, 

 comme la figure 13, donnera lieu aux mêmes observations. Ainsi, en fai- 

 sant BFzz. AE~bKzz.aI, l'espace défini Kbal sera égal, par superposition, 

 à l'espace FBAE 



Nous terminerons nos remarques sur cette démonstration en disant 

 quelques mots sur l'objection que Legendre s'est faite à lui-même contre 

 les propriétés des biangles (page 405). Notre observation porte sur la 

 manière dont il explique que les surfaces infinies de deux biangles, encla- 

 vés l'un dans l'autre, ne peuvent différer que d'une quantité finie, et par 

 conséquent doivent être considérées comme égales. A. ce sujet il nous 

 semble qu'en abordant la théorie des parallèles, ou, ce qui revient au 

 même pour le fond, celle des biangles, on ne peut pas, sans sortir de la 

 rigueur logique, admettre une proposition comme celle àe l'égalité' des bases 

 des biangles droits égaux en superficie (page 4-03), en se fondant sur des 

 considérations qui, comme il est facile de voir en consultant le mémoire 

 cité, sont elles-mêmes des suites de cette égalité, déjà admise. Et en efifet, 

 dans l'explication que donne Legendre (page 406), il parle d'une suite 



