Considérations sur la théorie des parallèles. 101 



de rectangles égaux; mais il est visible qu'on niant la proposition relative 

 aux biangles, on sera en droit de nier aussi l'existence de ces rectangles. 



5) Enfin il y a encore une démonstration du théorème sur la somme 

 des trois angles d'un triangle, fondée sur la loi des homogènes, et qui est 

 en partie analytique et en partie synthétique. Elle a paru pour la pre- 

 mière fois en 179^ dans la première édition de la Géométrie de Le gendre. 

 Cette démonstration, comme on le sait, se réduit en définitive à faire voir 

 qu'en niant la proposition sur l'égalité de la somme des trois angles d'im 

 triangle à deux droits, on parvient à un résultat absui'de, qui consiste dans 

 la nécessité d'admettre l'existence d'une unité de longueur, sur laquelle la 

 nature de la question ne peut donner aucune lumière. Quelqu'ingénieuse 

 que soit cette argumentation, néanmoins elle paraît trop absti'aite pour 

 entrer dans les éléments, même malgré les simplifications qui y ont été 

 apportées plus tard par l'auteur, et qui se trouvent exposées avec détail 

 dans son mémoire (voyez page 372 et suivantes, ainsi que de 379 à 381). 



En parlant de cette démonstration, nous nous hasarderons , comme 

 pour celles dont il a été question dans les paragraphes précédents, d'émettre 

 quelques doutes sur son entière suffisance. Pour fixer les idées, commen 

 çons par rapporter les passages du mémoire de Legendre dont nous au- 

 rons besoin dans ce qui suivra. Leg^endre considère un triangle ABC 

 (fig. 5), dont un côté AB, qu'il représente par p, et les deux angles adja- 

 cents A eX. B sont connus; au moyen de ces données le triangle sera com- 

 plètement détei'miné. On devra donc supposer, en abordant la question, 

 que le troisième angle C dépend A , B et p, en conséquence de quoi 

 l'on aura C — (p[A, B, p). Actuellement, pour prouver que le côté p ne 

 doit point entrer dans cette fonction ^, ou ce qui revient au même, que 

 l'on doit avoir simplement Czz:q){A, B) , Legendre raisonne de la ma- 

 nière suivante: 



